Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

Curvas Parametrizadas, Funções de Várias Variáveis

Sejam g x , y = x - 2 2 + y - 3 2 + 1 e Γ t = 2 - t ,   3 + t ,   z t , t ∈ R . Sabendo que a imagem de Γ está contida no gráfico de g , encontre z t . Esboce Γ .

Passo 1

Se a imagem de Γ está sobre o gráfico de g x , y , então podemos substituir x pela primeira coordenada de Γ e y pela segunda, tendo:

z = g x , y = x - 2 2 + y - 3 2 + 1

z t = 2 - t - 2 2 + 3 + t - 3 2 + 1

z t = 2 t 2 + 1

Beleza? Só o que fizemos foi parametrizar g x , y com Γ t ;)

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Passo 2

Essa parametrização que encontramos nada mais é do que a função que a terceira coordenada dos os pontos da curva Γ obedecem! Assim, a curva é:

Γ t = 2 - t ,   3 + t ,   2 t 2 + 1

E agora, o que faremos? Vamos encontrar uma relação entre x e y , e ver se ela é uma curva plana, uma espiral, ou o que quer que seja! Temos que:

x = 2 - t y = 3 + t

Somando as duas coordenadas, temos:

x + y = 5

Beleza, e isso nos diz que, no plano O x y , a projeção da curva Γ é uma reta! E, neste caso, a curva está sobre o plano x + y = 5 !

Passo 3

Vamos esboçar a superfície para visualizar melhor o que está se passando e ver quem realmente é a curva Γ ? Temos:

z = x - 2 2 + y - 3 2 + 1

Se fizermos x = 2 , veremos, nesse plano, a seguinte curva:

z = y - 3 2 + 1  

z = y - 3 2 + 1  

Ou seja, uma parábola deslocada em 3 no sentido positivo do eixo y e em 1 no sentido positivo do eixo z !

Se fizermos y = 3 , veremos, nesse plano, a seguinte curva:

z = x - 2 2 + 1  

z = x - 2 2 + 1  

Ou seja, uma parábola deslocada em 2 no sentido positivo do eixo x e em 1 no sentido positivo do eixo z !

Percebe? Temos um paraboloide, que não está centrado na origem, mas em x 0 , y 0 = 2,3 , e deslocado em 1 no eixo z . Se cortarmos esse paraboloide pelo plano x + y = 5 , teremos:

Uma parábola!

Resposta

a) A curva é Γ t = 2 - t ,   3 + t ,   2 t 2 + 1 e é uma parábola.

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