Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

UERJ, Lista 1 prof. Renata, exercício 2d

Esboce o gráfico da função

f x , y = 4 x 2 + y 2 + 1

Passo 1

Temos uma função de 2 variáveis, então vamos escrevê-la na forma

z = f x , y

⇒ z = 4 x 2 + y 2 + 1

Essa é a equação da superfície que temos que esboçar.

Prestando atenção, podemos ver que ser trata da equação de um paraboloide. Dá até pra reparar que ele é voltado pra cima, porque os coeficientes multiplicando x 2 e y 2 são positivos.

Vamos ver isso com calma analisando as interseções do gráfico com os planos coordenados :)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então vamos anular as variáveis, uma por uma.

Começando pela variável x por exemplo, podemos ver como é a interseção da superfície com o plano y z . Fazendo x = 0 :

z = y 2 + 1

Opa! Uma equação de uma parábola, bem tranquila! Saca só:

Passo 3

Agora vamos zerar a variável y ! Assim, no plano x z vamos ter:

z = 4 x 2 + 1 ,

que também é uma parábola tranquila de esboçar. Ela vai ser bem parecida com a outra, mas por causa desse 4 ela vai ser mais “pontuda”:

Passo 4

Agora só falta zerar a variável z !

Fazendo, portanto, z = 0 , obtemos:

4 x 2 + y 2 + 1 = 0

Repare que essa equação não tem solução!!

Temos

4 x 2 ≥ 0     e     y 2 ≥ 0

⇒ 4 x 2 + y 2 + 1 ≥ 1

Ou seja, a nossa superfície fica acima do plano z = 1 !

Passo 5

Resumindo, o nosso gráfico é um paraboloide elíptico voltado pra cima, com vértice no ponto 0 ,   0 ,   1 . Ele é mais largo no plano y z e mais magrinho no plano x z .

Agora, tendo em mente tudo isso que vimos, eu só te digo uma coisa: partiu esboçar essa bagaça!!

O gráfico ficaria assim:

Resposta

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