Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

Ver Teoria

Enunciado

Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 4 m 3 e com a menor área de superfície possível?

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos as dimensões x ,   y e z de uma caixa retangular de 4 m 3 a qual deve ter a menor área de superfície possível.

Para isso, temos que saber que o volume V de uma caixa retangular é dada por:

V = x y z

Como V = 4 , então:

x y z = 4 ∴ z = 4 x y

Por outro lado, a área A   da superfície total é:

A = x y + 2 y z + 2 x z

Substituindo z , temos:

A = x y + 2 y 4 x y + 2 x 4 x y ∴

A = x y + 8 x + 8 y

Detalhe: todas as dimensões devem ser maiores que zero!!

Agora vamos descobrir essa área mínima!!

😉

Passo 2

Então... Como queremos a superfície mínima, deveremos derivar a função A em função de x e, a seguir, de y (e igualar cada uma a zero). Assim, temos

d A d x = 0 ∴

y - 8 x 2 = 0 ∴

x 2 y = 8

E, derivando em relação a y :

d A d y = 0 ∴

x - 8 y 2 = 0 ∴

x y 2 = 8

Subtraindo as duas equações, temos:

x 2 y - x y 2 = 0 ∴

x y x - y = 0 ∴

x y = 0 ( i m p o s s í v e l )

x = y

Passo 3

Sabendo que x = y , temos:

x y 2 = 8 ∴

x x 2 = 8 ∴

x 3 = 8 ∴

x = 2

Logo, y = 2 .

Assim, substituindo na equação do Passo 1, temos:

z = 4 x y ∴

z = 4 2 * 2 ∴

z = 1

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

x = y = 2

z = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Seja f (x , y , z) = sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) + ln ( 4 - x^2 - y^2 - z^2 ) .Calcule f ( 1,1 , 1 ) .Determine o domínio de f .
Seja g x , y = c o s ⁡ ( x + 2 y ) .Calcule g ( 2 , - 1 ) .Determine o domínio de g . Determine a imagem de g
1. Desenhe a imagem:c)F (t) = (t , t , 1) , t = 0