Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

1. Determine o domínio das funções abaixo.

h) y - x 2 1 - x 2

Passo 1

Fala aí galerinha, belezinha? Bora pra essa questão de cálculo II! Aqui a ideia pra gente achar o domínio das funções é encontrar onde ela não pode existir. A partir disso, a gente pode dizer onde ela pode existir, que é o significado de determinar o domínio da função! 😊

Mas.. como a gente encontra os locais onde essa nossa função não existe?

Vamos buscar as condições que chamamos de restrições de uma função. A partir dessa restrição (intervalos das variáveis que tornam a função impossível de existir), vamos entender o domínio da nossa função!

Passo 2

Bem, temos uma divisão dentro da função, então vamos dividir em duas partes pra entendermos essa restrição.

f x , y = y - x 2 1 - x 2

Para o numerador: y - x 2 , a condição que torna essa função possível, é que essa raiz não seja negativa. Bora escrever isso matematicamente?

y - x 2 ≥ 0

Bora desenvolver isso? Elevando ao quadrado:

y - x 2 2 ≥ 0

y - x 2 ≥ 0

y ≥ x 2

Show, temos nossa primeira restrição! Vamos achar a próxima no denominador.

Passo 3

Agora, temos no denominador a seguinte situação:

1 - x 2

Para a nossa função existir, o nosso denominador tem que ser diferente de 0. Dessa forma, temos:

1 - x 2 ≠ 0

Ou seja:

x 2 ≠ 1

Resolvendo isso:

x ≠ 1   e   x ≠ - 1

Lembrando que são duas soluções pois pela raiz, temos duas soluções possíveis ( 1   e - 1 ).

Passo 4

Belezinha, encontramos os dois pontos onde a função não pode existir! Terminamos a questão? Calma que falta uma coisinha. Vamos escrever o domínio dessa função de uma maneira mais formal, matematicamente adequada, fechou? Precisamos expressar que: o domínio da função são todos os reais (em duas dimensões), tirando as restrições. Ou seja:

{ f x , y ∈ R 2 : y ≥ x 2   ; x ≠ 1 ; x ≠ - 1 }

E é isso! Pra galera que é mais curiosa, olha como o WolframAlpha plota pra gente o domínio da função:

Olhando mais de perto o que acontece com a nossa função no eixo x   para - 1 e + 1 :

A gente observa que ela literalmente não existe nesses pontos. É um grande vazio. Curtiu a questão? Ainda restou alguma dúvida? Dá um feedback pra gente

Resposta

{ f x , y ∈ R : y ≥ x 2   ; x ≠ 1 ; x ≠ - 1 }

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Seja g x , y = c o s ⁡ ( x + 2 y ) .Calcule g ( 2 , - 1 ) .Determine o domínio de g . Determine a imagem de g
1. Desenhe a imagem:c)F (t) = (t , t , 1) , t = 0