Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

UERJ, Lista 3 prof. Hamilton, exercício 6e

Esboce o gráfico da função t x , y = 16 - 4 x 2

Passo 1

Então o enunciado me deu uma função de duas variáveis t ( x , y ) , a gente pode plotar as raizes dessa equação em um terceiro eixo z . Ou seja, vamos colocar nossa variável z para acharmos mais facilmente o desenho dela. Chamamos então,

z = t x , y

z = 16 - 4 x 2

Agora vamos avaliar alguns planos!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vale perceber que nossa função é t x , y , mas na real o y não aparece nela!! Isso é um indicativo que ela tem o mesmo perfil ao longo do eixo y .

Então vamos ver a curva dela no plano x z , anulando a variável y , já que nossa função nao depende dela, lembra?

z = 16 - 4 x 2

z 2 = 16 - 4 x 2

z 2 16 + x 2 4 = 1

Temos uma equação de elipse que se estende por todo eixo y !! Ou melhor, temos apenas a parte de cima de uma elipse, já que estamos pegando apenas z = 16 - 4 x 2 e não z = - 16 - 4 x 2 !

Passo 3

A gente acabou de fazer o plano x z , mas como ficaria o plano y z . Para isso precisamos fazer x = 0

z = 16 - 4 x 2

z = 16 - 4 0 2

z = 16 = 4

Olha!! Uma reta! Muito simples, na verdade... é uma reta no plano y z , que fica constantemente em altura z = 4 ! Ele será um máximo na superfície.

Passo 4

Galera, no Passo 2 , a gente viu que é a metade de uma elipse que se estende por todo eixo y . No Passo 3, vimos que essa curva atinge um valor máximo em 4 .

Jogando isso pro gráfico, ficamos com,

Resposta

A resposta é só repetir o gráfico acima!

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