Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

1) Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.

(b) f x , y = arctan ⁡ x 3 + y x 2 + y 2 - 4   4

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, nosso objetivo é o domínio da função f x , y = arctan ⁡ x 3 + y x 2 + y 2 - 4   4 e fazer um esboço gráfico do seu domínio no plano cartesiano.

Parece difícil? Bora começar! 😉

Para determinar o domínio de uma função, temos que analisar a função e descobrir os possíveis valores que x e y são capazes de assumir para que f seja definida.

Já para esboçar o gráfico do domínio, temos que verificar para quais valores de x e y que pertence à função ou também obter restrições do domínio e excluir essas restrições do esboço...

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A função que temos que analisar é dada por

f x , y = arctan ⁡ x 3 + y x 2 + y 2 - 4   4

Nesse caso, temos uma fração de duas funções, arctan ⁡ x 3 + y e x 2 + y 2 - 4   4 . sabemos que para uma fração existir, o seu denominador tem que ser diferente de 0 já que c 0 não existe. Além disso sabemos que a função arctan ⁡ x é definida para qualquer valor de x , então no nosso caso, o numerador arctan ⁡ x 3 + y não será um problema na hora de obter restrições no domínio de f .

Com isso em mente, podemos analisar apenas o denominador de f e ver para quais valores a função é diferente de 0 .

No denominador temos uma função radical... nesse tipo de função, seu conteúdo deve ser maior ou igual que 0 para haver um resultado, mas analisando a função como um todo, temos que excluir a possibilidade de se resultar em 0 , portanto, temos

x 2 + y 2 - 4 4 ≠ 0 → x 2 + y 2 - 4 > 0

x 2 + y 2 > 4

Com isso, vemos que para f ser definida, então x 2 + y 2 tem que ser maior que 4 . Traduzindo isso no domínio da função, temos

D o m f x , y = f x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 > 4

Bacana, não é?

Passo 3

Esboçando o domínio graficamente, tínhamos encontrado que x 2 + y 2 > 4 .

Sabemos que a equação do tipo x 2 + y 2 = r 2 é a equação de uma circunferência de raio r ... no nosso caso, temos um sinal de > então nosso domínio representa os valores externos à circunferência x 2 + y 2 = 4 , ou seja

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

D o m f x , y = f x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 > 4

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Seja f (x , y , z) = sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) + ln ( 4 - x^2 - y^2 - z^2 ) .Calcule f ( 1,1 , 1 ) .Determine o domínio de f .
Seja g x , y = c o s ⁡ ( x + 2 y ) .Calcule g ( 2 , - 1 ) .Determine o domínio de g . Determine a imagem de g
1. Desenhe a imagem:c)F (t) = (t , t , 1) , t = 0