Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

Dada a função

f x , y = s e n x 2 + y 2 x 2 + y 2

  1. Determine o D o m ( f ) e I m ( f )

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar aqui! Temos uma função de duas variáveis

f x , y = s e n ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2

E nesse primeiro item o problema nos pede para encontrar o domínio e a imagem dessa função.

Bom, para calcular o domínio precisamos descobrir em qual ponto essa função não está definida. E para fazer isso procuramos em duas situações

  1. Pontos onde há uma divisão por zero
  2. Pontos onde tem uma raiz de incide par de número negativo

Como não temos raiz, esse segundo ponto nós deixamos de lado!

Já a parte da divisão por zero, precisamos assegurar que o denominador não seja zero:

x 2 + y 2 ≠ 0

E isso ocorre em quase todos os pontos, menos onde x = y = 0 . E é exatamente esse ponto que vamos tirar do domínio?

Não! Pois se trata de uma coisa do tipo

s e n   A A

E o limite quando A → 0 dessa coisa é 1! É o limite fundamental!

Sendo assim o domínio dessa função são todos os reais

Passo 2

E a imagem? Imagem é o valor que a função assume no domínio! Vamos relembrar de como é um gráfico de s e n   x x ?

Temos que perto de x = 0 a função assume seu valor máximo: 1 E depois disso ela vai gradativamente diminuindo, tendendo à zero no infinito

Será que acontece a mesma coisa com a nossa função?

Passo 3

Agora vamos dar uma olhadinha na versão 3d dessa função:

- 1 até 1 .

E é isso! Espero ter ajudado!

Ufa! Terminamos!

Até próxima!

Resposta

D o m f : R

I m f : [ - 1 ; 1 ]  

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Seja f (x , y , z) = sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) + ln ( 4 - x^2 - y^2 - z^2 ) .Calcule f ( 1,1 , 1 ) .Determine o domínio de f .
Seja g x , y = c o s ⁡ ( x + 2 y ) .Calcule g ( 2 , - 1 ) .Determine o domínio de g . Determine a imagem de g
1. Desenhe a imagem:c)F (t) = (t , t , 1) , t = 0