Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

Considere a função de duas variáveis

f : D ⊂ R 2 → R   x , y → z = f x , y = x 2 + y 2

Definida em um subconjunto D de R 2 . Faça um esboço do gráfico de f para o caso abaixo

D = x , y ∈ R 2 x 2 4 + y 2 9 ≤ 1

Passo 1

Para fazer o gráfico dessa função devemos primeiro entender como é a função f .

Repara que temos

x 2 + y 2 = z

Isso parece muito a equação de uma circunferência, onde o raio vai ser z então vamos ter várias circunferências com seus raios mudando.

Se olharmos o gráfico por cima vamos ver muitas circunferências com o raio variando, onde o raio vai ser z e a posição da altura dele vai ser z

O primeiro raio vai ser com z = 0 e vai ser a própria origem, depois o raio vai aumentando com z , o seu gráfico sem a restrição vai ficar

Passo 2

Vamos entender agora como aquele domínio vai mudar o gráfico da função.

Repara que ele quer uma limitação que é um disco elíptico.

x 2 4 + y 2 9 = 1

Ou seja, ele está limitando toda e qualquer curva de nível de z a essa elipse.

Mas cada curva de nível é um circulo certo? Vão aparecer pontas na parte de cima do gráfico, isso porque vamos pegar algumas partes de circunferências mas não ela toda. Olhando de cima, pensando sem a restrição vamos ter algo assim

Com a limitação vai ficar assim

Assim vamos ter algumas partes de circunferências em vez da circunferência completa.

O gráfico vai ficar

Resposta

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Seja f x , y , z = x + y + z + ln ⁡ ( 4 - x 2 - y 2 - z 2 ) .Calcule f