Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

Ver Teoria

Enunciado

Sejam γ 1 ,   γ 2 , γ 3 : I ⊆ ℜ → ℜ 3 curvas diferenciáveis. Verifique as seguintes propriedades:

b .   ( γ 1 ( t ) × γ 2 ( t ) ) ' = γ ' 1 ( t ) × γ 2 ( t )   +   γ 1 ( t ) × γ 2 ' ( t ) ;

Com isso obtenha uma expressão para as derivadas do produto misto e da norma:

[ γ 1 ( t ) , γ 2 ( t ) , γ 3 ( t ) ] = < γ 1 ( t ) , γ 2 ( t ) × γ 3 ( t ) > e | | γ 1 ( t ) | | = < γ 1 ( t ) , γ 1 ( t ) >

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos define três curvas da forma γ 1 ,   γ 2 , γ 3 : I ⊆ ℜ → ℜ 3 e nos pede para verificar algumas propriedades, nesta alternativa iremos começar tentando mostrar que

b .   ( γ 1 ( t ) × γ 2 ( t ) ) ' = γ ' 1 ( t ) × γ 2 ( t )   +   γ 1 ( t ) × γ 2 ' ( t ) ;

em que × indica um produto vetorial e ' indica a derivada em relação ao parâmetro t . Vamos usar a definição de produto vetorial em termos dos componentes das superfícies e a regra do produto para demonstrar esta expressão. Além disso a questão pede para que encontremos em termos da derivada que iremos demonstrar, e do resultado que obtivemos na alternativa anterior

< γ 1 ( t ) , γ 2 ( t ) > ' = < γ 1 ' ( t ) , γ 2 ( t ) > + < γ 1 ( t ) , γ 2 ' ( t ) >

as derivadas do produto misto e da norma, as quais são definidas como

[ γ 1 ( t ) , γ 2 ( t ) , γ 3 ( t ) ] = < γ 1 ( t ) , γ 2 ( t ) × γ 3 ( t ) > e | | γ 1 ( t ) | | = < γ 1 ( t ) , γ 1 ( t ) >

Bora começar!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de um produto vetorial, você pode fazer através do determinante de uma matriz 3 × 3 neste caso, mas, o ponto do exercício não é demonstrar isso, vamos usar direto que

γ 1 ( t ) × γ 2 ( t ) = [ γ 1 y γ 2 z - γ 1 z γ 2 y ,   γ 1 z γ 2 x - γ 1 x γ 2 z , γ 1 x γ 2 y - γ 1 y γ 2 x ]

quando derivarmos essa expressão iremos obter uma série de derivadas do produto que devem ser expandidas com a regra do produto, em cada componente temos que

d d t [ γ 1 y γ 2 z - γ 1 z γ 2 y ] = γ 1 y ' γ 2 z + γ 1 y γ 2 z ' - ( γ 1 z ' γ 2 y + γ 1 z γ 2 y ' )

da mesma forma para os outros componentes, temos que

d d t [   γ 1 z γ 2 x - γ 1 x γ 2 z ] = γ 1 z ' γ 2 x + γ 1 z γ 2 x ' - ( γ 1 x ' γ 2 z + γ 1 x γ 2 z ' )

d d t [ γ 1 y γ 2 z - γ 1 z γ 2 y ] = γ 1 y ' γ 2 z + γ 1 y γ 2 z ' - ( γ 1 z ' γ 2 y + γ 1 z γ 2 y ' )

Vamos evidenciar os termos que estão derivados em γ 1 , para conseguirmos visualizar melhor a expressão

d d t [ γ 1 y γ 2 z - γ 1 z γ 2 y ] = γ 1 y ' γ 2 z - γ 1 z ' γ 2 y + γ 1 y γ 2 z ' - γ 1 z γ 2 y '

note que isso é como o primeiro componente do produto vetorial

γ 1 ' × γ 2

somado ao primeiro componente do produto vetorial

γ 1 × γ 2 '

se fizer o mesmo processo para as outras derivadas você vai obter os segundos componentes somados, assim como os terceiros, de forma que a sua expressão se torna

( γ 1 × γ 2 ) ' = γ 1 ' × γ 2 + γ 1 × γ 2 '

Como queríamos demonstrar! Agora, vamos obter as derivadas pedidas!

Passo 3

Primeiro, a derivada do produto misto, temos que

[ γ 1 ( t ) , γ 2 ( t ) , γ 3 ( t ) ] = < γ 1 ( t ) , γ 2 ( t ) × γ 3 ( t ) >

se derivarmos, temos que

d d t { [ γ 1 ( t ) , γ 2 ( t ) , γ 3 ( t ) ] } = < γ 1 ( t ) , γ 2 ( t ) × γ 3 ( t ) > '

usando o resultado da alternativa anterior identificando a primeira parametrização é o próprio γ 1 ( t ) e a segunda parametrização é o produto vetorial da forma γ 2 ( t ) × γ 3 ( t ) , ou seja, podemos escrever que

< γ 1 ( t ) , γ 2 ( t ) × γ 3 ( t ) > ' = < γ 1 ' ( t ) , γ 2 ( t ) × γ 3 ( t ) > + < γ 1 ( t ) , ( γ 2 ( t ) × γ 3 ( t ) ) ' >

note que no segundo termo aparece a derivada do produto vetorial que acabamos de calcular, ou seja, usando este resultado

< γ 1 ( t ) , γ 2 ( t ) × γ 3 ( t ) > ' = < γ 1 ' ( t ) , γ 2 ( t ) × γ 3 ( t ) > + < γ 1 ( t ) , γ 1 ' × γ 2 + γ 1 × γ 2 ' >

como o produto escalar é uma operação linear, temos que

< γ 1 ( t ) , γ 2 ( t ) × γ 3 ( t ) > ' = < γ 1 ' ( t ) , γ 2 ( t ) × γ 3 ( t ) > + < γ 1 ( t ) , γ 1 ' × γ 2 > + < γ 1 ( t ) , γ 1 × γ 2 ' >

ou seja, temos que

d d t { [ γ 1 ( t ) , γ 2 ( t ) , γ 3 ( t ) ] } = < γ 1 ' ( t ) , γ 2 ( t ) × γ 3 ( t ) > + < γ 1 ( t ) , γ 1 ' × γ 2 > + < γ 1 ( t ) , γ 1 × γ 2 ' >

Beleza! A primeira derivada é essa! Vamos para a próxima!

Passo 4

A norma é tal que

| | γ 1 ( t ) | | = < γ 1 ( t ) , γ 1 ( t ) >

derivando temos que

d d t { | | γ 1 ( t ) | | } = < γ 1 ( t ) , γ 1 ( t ) > ' 2 < γ 1 ( t ) , γ 1 ( t ) >

usando o resultado da alternativa anterior, temos que

d d t { | | γ 1 ( t ) | | } = < γ 1 ' ( t ) , γ 1 ( t ) > + < γ 1 ( t ) , γ 1 ' ( t ) > 2 < γ 1 ( t ) , γ 1 ( t ) >

Aí está! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d t { [ γ 1 ( t ) , γ 2 ( t ) , γ 3 ( t ) ] } = < γ 1 ' ( t ) , γ 2 ( t ) × γ 3 ( t ) > + < γ 1 ( t ) , γ 1 ' × γ 2 > + < γ 1 ( t ) , γ 1 × γ 2 ' >

d d t { | | γ 1 ( t ) | | } = < γ 1 ' ( t ) , γ 1 ( t ) > + < γ 1 ( t ) , γ 1 ' ( t ) > 2 < γ 1 ( t ) , γ 1 ( t ) >

Exercícios de Livros Relacionados

Seja f (x , y , z) = sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) + ln ( 4 - x^2 - y^2 - z^2 ) .Calcule f ( 1,1 , 1 ) .Determine o domínio de f .
Seja g x , y = c o s ⁡ ( x + 2 y ) .Calcule g ( 2 , - 1 ) .Determine o domínio de g . Determine a imagem de g
1. Desenhe a imagem:c)F (t) = (t , t , 1) , t = 0