Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

Suponha que f seja uma função diferenciável de x e y e que p t = f g t , h t , g 2 = 4 , g ' 2 = - 3 , h 2 = 5 , h ' 2 = 6 , f x 4,5 = 2 , f y 4,5 = 8 . Determine p ' 2 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos deu a seguinte função composta por outras funções:

p t = f g t , h t

Onde

g 2 = 4

g ' 2 = - 3

h 2 = 5

h ' 2 = 6

f x 4,5 = 2

f y 4,5 = 8

Queremos encontrar p ' 2 , ou seja, queremos encontrar a derivada de p quando t = 2 .

Nesse sentido, para calcular a derivada p ' t , devemos usar a regra da cadeia, ou seja:

d p d t = d f d x ∙ d x d t + d f d y ∙ d y d t

Agora vamos aplicar!!!

😉

Passo 2

Nesse caso, temos que p t = f x t , y t , onde x t = g ( t ) e y t = h t , portanto:

p ' t = f x x t , y t ∙ x ' t + f y x t , y t ∙ y ' t ∴

p ' t = f x g t , h t ∙ g ' t + f y g t , h t ∙ h ' t

Como queremos p ' 2 substituiremos t = 2 :

p ' 2 = f x g 2 , h 2 ∙ g ' 2 + f y g 2 , h 2 ∙ h ' 2

Agora é só substituir pelas informações dadas no enunciado!!

Passo 3

Pelo que nos foi dado, temos:

g 2 = 4

g ' 2 = - 3

h 2 = 5

h ' 2 = 6

Logo, substituindo na equação do Passo 2, temos:

p ' 2 = f x 4,5 ∙ - 3 + f y 4,5 ∙ 6

Ainda com os dados que nos foram dados, temos:

f x 4,5 = 2

f y 4,5 = 8

Assim, substituindo em p ' 2 , obtemos:

p ' 2 = 2 ∙ - 3 + 8 ∙ 6 ∴

p ' 2 = - 6 + 48 ∴

p ' 2 = 42

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

p ' 2 = 42

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1. Desenhe a imagem:c)F (t) = (t , t , 1) , t = 0