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Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

Encontre o domínio da função

y - x 2 l n   x 2 + y - 4  

Passo 1

Temos uma questão que pede pra gente descobrir onde a função existe (ou seja, qual é o seu domínio). Mas, convenhamos... é muito mais fácil descobrir onde ela não existe!!

Nossa função é uma fração, então a primeira coisa que devemos bater o olho é no denominador: ele não pode valer 0.

Vamos ver como é o gráfico da função logaritmo:

Olha só! Quando seu argumento é 1 , seu valor é 0 (é o ponto onde ela corta o eixo x). Portanto, como o valor do denominador da função do enunciado não pode valer 0 ,

l n   x 2 + y - 4   ≠ l n   1  

Igualando um argumento ao outro...

x 2 + y - 4 ≠ 1

Passo 2

Ainda olhando para o gráfico da função logaritmo, observe que ela não está definida em l n   0   ou números menores que 0. Ou seja, o argumento da função logaritmo só podem ser números maiores do que 0 :

x 2 + y - 4 > 0

Passo 3

Pronto, agora que todos os problemas do denominador foram devidamente resolvidos, podemos olhar pra parte de cima da fração

y - x 2 l n   x 2 + y - 4  

Veja, temos aqui uma raíz quadrada

y - x 2

E seu interior não poder valer menos do que 0

Assim, fica:

y - x 2 ≥ 0

Passo 4

Agora é só juntar tudo!

Do passo 1 temos que

x 2 + y - 4 ≠ 1

Do passo 2 temos que

x 2 + y - 4 > 0

E, do passo 3, temos que

y - x 2 ≥ 0

Assim, nosso domínio é definido por:

D = ( x , y ) ∈ R 2 | x 2 + y - 4 ≠ 1 ,   x 2 + y - 4 > 0   ,   y - x 2 ≥ 0  

Se não se sentir à vontade com a notação matemática (como eu... rsrs), é só escrever por extenso mesmo na prova! Isso aí em cima, lendo em português, diz que o domínio da função é o conjunto dos pontos ( x , y ) , sendo x e y pertencendo aos reais, tais que x 2 + y - 4 ≠ 1 ,   x 2 + y - 4 > 0 e y - x 2 ≥ 0

Resposta

D = ( x , y ) ∈ R 2 | x 2 + y - 4 ≠ 1 ,   x 2 + y - 4 > 0   ,   y - x 2 ≥ 0

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