Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

1) Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.

(k) f x , y = 2 x 2 + y 2 - 4 x - 2 + 1 x - y

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, nosso objetivo é o domínio da função f x , y = 2 x 2 + y 2 - 4 x - 2 + 1 x - y e fazer um esboço gráfico do seu domínio no plano cartesiano.

Parece difícil? Bora começar! 😉

Para determinar o domínio de uma função, temos que analisar a função e descobrir os possíveis valores que x e y são capazes de assumir para que f seja definida.

Já para esboçar o gráfico do domínio, temos que verificar para quais valores de x e y que pertence à função ou também obter restrições do domínio e excluir essas restrições do esboço...

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A função que temos que analisar é dada por

f x , y = 2 x 2 + y 2 - 4 x - 2 + 1 x - y

Primeiro vamos analisar o termo 2 x 2 + y 2 - 4 x - 2 , para uma raiz existir seu conteúdo deve ser maior ou igual a 0 , portanto

2 x 2 + y 2 - 4 x - 2 ≥ 0

2 x 2 + y 2 - 4 x ≥ 2

Manipulando essa inequação, temos

2 x 2 + y 2 - 4 x ≥ 2 → x - 1 2 2 + y 2 4 ≥ 1

Agora para o segundo termo temos 1 x - y . Nesse caso, o denominador não pode ser igual a 0 , ou seja

x - y ≠ 0 → x ≠ y

Condensando essas informações no domínio de f , temos

D o m f x , y = f x , y ∈ R 2 x ≠ y ,   x - 1 2 2 + y 2 4 ≥ 1

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Para obter o esboço gráfico do domínio de f , temos que olhar para as restrições de f .

A inequação x ≠ y nos diz que a reta x = y não faz parte da região.

Já a restrição x - 1 2 2 + y 2 4 ≥ 1 resulta em uma região externa a elipse x - 1 2 2 + y 2 4 = 1 , assim, esboçando a região fora da elipse e a reta x = y , temos

Lembrando que x = y não faz parte da região.

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

D o m f x , y = f x , y ∈ R 2 x ≠ y ,   x - 1 2 2 + y 2 4 ≥ 1

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Seja f (x , y , z) = sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) + ln ( 4 - x^2 - y^2 - z^2 ) .Calcule f ( 1,1 , 1 ) .Determine o domínio de f .
Seja g x , y = c o s ⁡ ( x + 2 y ) .Calcule g ( 2 , - 1 ) .Determine o domínio de g . Determine a imagem de g
1. Desenhe a imagem:c)F (t) = (t , t , 1) , t = 0