Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

1) Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.

(a) f x , y = ln ⁡ x 2 + 6 x y + 9 y 2

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, nosso objetivo é o domínio da função f x , y = ln ⁡ x 2 + 6 x y + 9 y 2 e fazer um esboço gráfico do seu domínio no plano cartesiano.

Parece difícil? Bora começar! 😉

Para determinar o domínio de uma função, temos que analisar a função e descobrir os possíveis valores que x e y são capazes de assumir para que f seja definida.

Já para esboçar o gráfico do domínio, temos que verificar para quais valores de x e y que pertence à função ou também obter restrições do domínio e excluir essas restrições do esboço...

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A função que temos que analisar é dada por

f x , y = ln ⁡ x 2 + 6 x y + 9 y 2

Nesse caso temos uma função composta onde a função externa é logarítmica.

Sabemos que ln ⁡ x só existe se x > 0 , não é mesmo? Portanto podemos trazer essa ideia para o nosso caso... o polinômio dentro da função l n tem que ser maior que 0 para que f x , y exista, ou seja

x 2 + 6 x y + 9 y 2 > 0

x + 3 y 2 > 0

x + 3 y 2 > 0

Dessa equação, podemos tirar que

0 < x + 3 y < 0

x + 3 y ≠ 0

y ≠ x 3

Ou sejam para a função f x , y existir, y tem que ser diferente de x 3 . Traduzindo isso de maneira mais matemática para o domínio de f x , y , temos

D o m f x , y = f x , y ∈ R 2 y ≠ x 3

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Vimos que a função f x , y é definida em todos os valores de x , y desde que y ≠ x 3

Ou seja, o esboço gráfico do domínio de f será todos os pontos de x e y menos a reta y = x 3 .

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

D o m f x , y = f x , y ∈ R 2 y ≠ x 3

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Seja f (x , y , z) = sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) + ln ( 4 - x^2 - y^2 - z^2 ) .Calcule f ( 1,1 , 1 ) .Determine o domínio de f .
Seja g x , y = c o s ⁡ ( x + 2 y ) .Calcule g ( 2 , - 1 ) .Determine o domínio de g . Determine a imagem de g
1. Desenhe a imagem:c)F (t) = (t , t , 1) , t = 0