Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

Descreva o domínio e a imagem da função f, onde   f ( x , y ) = 16 - x 2 - y 2 . Desenhe pelo menos três curvas de nível no domínio da função e esboce a superfície.

Passo 1

Pessoaaaaalll, oláaaa! Como estão? Precisaremos encontrar domínio, imagem, desenhar curvas de nível e esboçar a superfície dessa função. Vamos lá ver como fazer tudo, passo a passo?

Passo 2

Primeiro, vamos obter o domínio da função. Como temos uma raíz quadrada, os valores dentro dessa função devem ser maiores ou iguais a zero. Então

d o m = 16 - x 2 - y 2 ≥ 0

Resolvendo a inequação

1 6 ≥ x 2 + y 2

Reescrevendo

x 2 + y 2 ≤ 16

Então o domínio será

D f = { x , y : x 2 + y 2 ≤ 16 }

Passo 3

Note que temos que se igualarmos a função de dentro da raíz a zero, vemos que é uma circunferência

x 2 + y 2 = 16

Isso indica que seu raio é

16 = 4

Logo, a imagem será

I m f = { z ∈ R : 0 ≤ z ≤ 4 }

Passo 4

As curvas de nível podem ser calculadas da seguinte maneira:

16 - x 2 - y 2 = C

Elevando tudo ao quadrado

16 - x 2 - y 2 2 = C 2

16 - x 2 - y 2 = C 2

Temos então

x 2 + y 2 = 16 - C 2

O raio das curvas então será

16 - C 2

Para obter as curvas, basta substituir valores para C , beleza?

Abaixo temos algumas curvas possíveis:

Passo 5

O esboço da superfície será:

Prontinho!

Resposta

D f = { x , y : x 2 + y 2 ≤ 16 }

I m f = { z ∈ R : 0 ≤ z ≤ 4 }

Exercícios de Livros Relacionados

Seja f (x , y , z) = sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) + ln ( 4 - x^2 - y^2 - z^2 ) .Calcule f ( 1,1 , 1 ) .Determine o domínio de f .
Seja g x , y = c o s ⁡ ( x + 2 y ) .Calcule g ( 2 , - 1 ) .Determine o domínio de g . Determine a imagem de g
1. Desenhe a imagem:c)F (t) = (t , t , 1) , t = 0