Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

1. Determine o domínio das funções abaixo.

j) f x , y = x 2 - 3 x y + 1 x 2 y 2 + 1

Passo 1

Fala aí galerinha, belezinha? Bora pra essa questão de cálculo II!

Queremos o domínio de uma função. Então precisamos lembrar que domínio são os valores que x pode assumir, de forma que a função exista.

Vamos buscar entender as condições pra essa função existir. Entendemos isso encontrando o contrário: aonde ela não existe. Fechou? Se não ficou tão claro, nos próximos passos te garanto como vai ficar de boas pra entender.

Passo 2

Bem, pra nossa função não existir (já que é uma divisão de polinômios) o que precisamos é que o denominador dessa função seja diferente de   0 , pois uma divisão por 0 gera indeterminação. Tranquilinho?

O que temos que escrever matematicamente aqui é que o nosso denominador tem que ser diferente de 0 . Ou seja, para:

f x , y = x 2 - 3 x y + 1 x 2 y 2 + 1

Temos que:

x 2 y 2 + 1 ≠ 0

Agora vamos desenvolver isso. Jogando o 1 pro outro lado:

x 2 y 2 ≠ - 1

Passo 3

Show, encontramos a restrição. Mas, vamos nos aprofundar um pouco?

Para nossa restrição:

x 2 y 2 ≠ - 1

Existe algum conjunto de x e y (dentro dos reais) que dentro desse produto de x 2 y 2 que seja igual a - 1 ? Eu te garanto que não! Vamos tentar:

f 1 , - 1 → 1 2 - 1 2 = 1

f - 1 , - 1 → ( - 1 2 ) - 1 2 = 1

Sério, não rola dentro do conjunto dos números reais, porque temos 2 quadrados, um número real ao quadrado sempre vai ser positivo. O único caso acontece se a gente usar um número imaginário:

f i , - 1 → 1 2 - 1 2 = 1

Mas não é o caso pra gente. Ou seja, nossa função existe em todos os reais (em duas dimensões). Escrevendo isso melhor:

x , y ∈ R 2

E finalizamos! Curtiu a questão? Ainda restou alguma dúvida? Dá um feedback pra gente

Resposta

x , y ∈ R 2

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Seja f (x , y , z) = sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) + ln ( 4 - x^2 - y^2 - z^2 ) .Calcule f ( 1,1 , 1 ) .Determine o domínio de f .
Seja g x , y = c o s ⁡ ( x + 2 y ) .Calcule g ( 2 , - 1 ) .Determine o domínio de g . Determine a imagem de g
1. Desenhe a imagem:c)F (t) = (t , t , 1) , t = 0