Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

1) Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.

(j) f x , y = x + y 16 - x 2 - 4 y 2

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, nosso objetivo é o domínio da função f x , y = x + y 16 - x 2 - 4 y 2 e fazer um esboço gráfico do seu domínio no plano cartesiano.

Parece difícil? Bora começar! 😉

Para determinar o domínio de uma função, temos que analisar a função e descobrir os possíveis valores que x e y são capazes de assumir para que f seja definida.

Já para esboçar o gráfico do domínio, temos que verificar para quais valores de x e y que pertence à função ou também obter restrições do domínio e excluir essas restrições do esboço...

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A função que temos que analisar é dada por

f x , y = x + y 16 - x 2 - 4 y 2

Podemos perceber que nossa função é composta por uma fração de duas funções.

No numerador temos x + y ... nesse caso não há restrições para x e y , então essas variáveis podem assumir qualquer valor até agora.

No denominador temos 16 - x 2 - 4 y 2 , então como temos uma raiz, o conteúdo dentro da raiz deve ser maior ou igual a 0 , mas por estar no denominador, não podemos ter 0 , então o que temos é

16 - x 2 - 4 y 2 > 0

x 2 + 4 y 2 < 4

Traduzindo essas informações para o domínio de f , temos

D o m f x , y = f x , y ∈ R 2 x 2 + 4 y 2 < 4

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Agora vamos esboçar a região do domínio de f e para isso vamos ver a restrição x 2 + 4 y 2 < 4

Essa inequação parece muito com a equação da elipse

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Adaptando nossa inequação, temos

x 2 4 + y 2 < 1

Como temos um sinal de < 1 , nossa região compreende a parte interna da elipse, ou seja

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

D o m f x , y = f x , y ∈ R 2 x 2 + 4 y 2 < 4

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Seja f (x , y , z) = sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) + ln ( 4 - x^2 - y^2 - z^2 ) .Calcule f ( 1,1 , 1 ) .Determine o domínio de f .
Seja g x , y = c o s ⁡ ( x + 2 y ) .Calcule g ( 2 , - 1 ) .Determine o domínio de g . Determine a imagem de g
1. Desenhe a imagem:c)F (t) = (t , t , 1) , t = 0