Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

Resolva o que se pede:

Determine e esboce o domínio da função

f x , y = arcsen ⁡ ( x 2 + y 2 - 2 )

Passo 1

Opa, falou em domínio significa que temos que verificar as restrições de f .

Aqui, nossa única restrição é que é temos uma função inversa da função seno.

Sabemos que o domínio da função inversa é igual a imagem da função normal.

Então, para descobrir a restrição do argumento da nossa função f ( x , y ) , que é exatamente o domínio dela, temos que pensar na restrição da imagem da função seno. Porque isso vai ser o domínio da função arco seno, sacou?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos lá, então.

A imagem do seno a gente já tá careca de saber que varia entre - 1 e 1 , certo?

Assim, a nossa restrição para a função inversa da função seno será que o que tá dentro do arco seno tem que estar entre - 1 e 1 . Assim:

- 1 ≤ x 2 + y 2 - 2 ≤ 1

Daí, tiramos que

1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 3

Logo, o domínio de f é

D = x , y ∈ R 2   ;   1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 3

Passo 3

Agora, ainda precisamos esboçar essa parada aê.

O que significa esse domínio?

Significa que

x 2 + y 2 ≥ 1

Ao mesmo tempo que

x 2 + y 2 ≤ 3

Então a gente precisa desenhar essas duas coisas e fazer a interseção entre eles. E isso será nosso domínio.

Passo 4

Vamos começar entendendo e esboçando:

x 2 + y 2 ≥ 1

Se fosse

x 2 + y 2 = 1

Teríamos uma circunferência de raio 1, centrada na origem. Mas como temos esse sinal de “ ”, significa que que isso daí é como se fosse um disco, só que na real é tudo que tá pra fora dessa circunferência, inclusive sua fronteira.

Então o que essa inequação aí diz pra gente é que isso meio que é o plano todo, menos o que tá dentro da circunferência

x 2 + y 2 = 1

Assim:

Passo 5

Agora vamos entender e esboçar

x 2 + y 2 ≤ 3

Se fosse

x 2 + y 2 = 3

Teríamos uma circunferência de raio 3 , centrada na origem. Mas como temos esse sinal de “ ”, significa que que isso daí é um disco, que compreende tudo que tá dentro da circunferência de raio 3 , inclusive sua fronteira. Assim:

Passo 6

Fazendo a interseção dessas duas coisas então, temos algo do tipo

Em que o domínio seria tudo que tá dentro dessa bola rosa.

OBS: no fim das contas, como x 2 + y 2 ≥ 1

Meio que representa o plano todo, o domínio acaba sendo só o que ta dentro do disco

x 2 + y 2 ≤ 3

(e sua fronteira inclusive).

Resposta

D = x , y ∈ R 2   ;   1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 3

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