Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

1) Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano cartesiano.

(c) f x , y = x 2 + 2 x y + y 2 9 - x 2 - y 2 + 4

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, nosso objetivo é o domínio da função f x , y = x 2 + 2 x y + y 2 9 - x 2 - y 2 + 4 e fazer um esboço gráfico do seu domínio no plano cartesiano.

Parece difícil? Bora começar! 😉

Para determinar o domínio de uma função, temos que analisar a função e descobrir os possíveis valores que x e y são capazes de assumir para que f seja definida.

Já para esboçar o gráfico do domínio, temos que verificar para quais valores de x e y que pertence à função ou também obter restrições do domínio e excluir essas restrições do esboço...

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

A função que temos que analisar é dada por

f x , y = x 2 + 2 x y + y 2 9 - x 2 - y 2 + 4

Vamos tentar simplificar essa função...

f x , y = x + y 2 9 - x 2 - y 2 + 4

f x , y = x + y 9 - x 2 - y 2 + 4

Ficou mais fácil agora, não é? 😉

Nessa função temos uma fração de duas outras funções... no numerador temos apenas x + y , o que não nos dá nenhuma restrição no domínio de f já que para esse caso x e y podem assumir qualquer valor.

Já para o denominador, temos 9 - x 2 - y 2 + 4 ... nesse caso temos uma raiz e sabemos que para uma raiz existir, seu conteúdo tem que ser maior ou igual a 0 , ou seja, aqui temos uma restrição

9 - x 2 - y 2 ≥ 0

x 2 + y 2 ≤ 9

Como uma raiz não resulta em um número negativo, não é possível que o denominador de f zere, então a única restrição é a calculada anteriormente.

Traduzindo isso para o domínio de f , temos

D o m f x , y = f x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 ≤ 9

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Para esboçar o gráfico do domínio de f , vamos olhar para a restrição x 2 + y 2 ≤ 9 .

Nela vemos que para f existir, x 2 + y 2 tem que ser menor ou igual a 9 . Sabemos que a equação do tipo x 2 + y 2 = r 2 é a equação de uma circunferência... quando fazemos x 2 + y 2 ≤ r 2 passamos a obter um círculo já que os pontos internos a r começam a se incluir.

Logo vemos que graficamente, nosso domínio é dado pelo círculo de raio 3 .

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

D o m f x , y = f x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 ≤ 9

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Seja f (x , y , z) = sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) + ln ( 4 - x^2 - y^2 - z^2 ) .Calcule f ( 1,1 , 1 ) .Determine o domínio de f .
Seja g x , y = c o s ⁡ ( x + 2 y ) .Calcule g ( 2 , - 1 ) .Determine o domínio de g . Determine a imagem de g
1. Desenhe a imagem:c)F (t) = (t , t , 1) , t = 0