Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

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Enunciado

Considere a função

f x , y = x 4 + 4 x 3 y + 4 x 2 y 2 x 2 y 4 + y 2

É correto afirmar que o domínio de f contém

a) a hipérbole y 2 - x 2 = 1 .

b) a reta y = x + 1 .

c) o círculo x 2 + y - 1 2 = 2 .

d) a elipse 2 x - 1 2 + 3 y 2 = 1 .

e) a parábola x = y - 1 2 + 1 .

Passo 1

Fala pessoal, bora resolver essa questão de prova?

O problema forneceu pra gente a função

f x , y = x 4 + 4 x 3 y + 4 x 2 y 2 x 2 y 4 + y 2

Ele quer saber qual das curvas apresentadas nas alternativas está no domínio de f . Portanto, o primeiro passo é identificar o domínio da função!

Aqui, o principal passo para achar o domínio é saber que o denominador deve ser diferente de zero:

x 2 y 4 + y 2 ≠ 0

Colando y 2 em evidência:

y 2   x 2 y 2 + 1 ≠ 0

Mas note que x 2 y 2 ≥ 0 . Somando 1 dos dois lado:

x 2 y 2 + 1 ≥ 1

Melhor ainda, ele esse termo é maior que 1 , ele será diferente de zero:

x 2 y 2 + 1 ≠ 0

Assim, para que y 2   x 2 y 2 + 1 ≠ 0 , devemos ter

y 2 ≠ 0

Ou ainda,

y ≠ 0

Achamos que o domínio de f é

D f = x ,   y ∈ R 2 : y ≠ 0

Portanto, o domínio de f são todos os pontos do plano que não estão na reta y = 0 (eixo x ).

Passo 2

No passo 1 identificamos que o domínio de f são todos os pontos do plano que não estão no eixo x . Assim, das curvas que estão dadas nas alternativas, temos que procurar a curva que não intersepta o eixo x (reta y = 0 ). Temos que testar uma por uma...

Na alternativa A, temos y 2 - x 2 = 1 . Fazendo y = 0 obtemos

x 2 = - 1

Essa equação não tem solução real. Essa hipérbole não corta o eixo x ! Podemos assinalar essa alternativa já 😊

Passo 3

Vamos provar que as demais alternativas tem solução para y = 0 .

Na alternativa B, temos y = x + 1 . Logo, se y = 0 :

x + 1 = 0 ⇒ x = - 1

Na C, x 2 + y - 1 2 = 2 . Assim, com y = 0 :

x 2 + 1 = 2

Logo,

x 2 = 1 ⇒ x = ± 1

Na D, foi dado 2 x - 1 2 + 3 y 2 = 1 . Fazendo y = 0 :

2 x - 1 2 = 1

Logo,

x - 1 2 = 1 2 ⇒ x - 1 = ± 1 2

Assim,

x = 1 ± 1 2

Por fim, na E temos x = y - 1 2 + 1 . Com y = 0 :

x = 1 + 1 = 2

A única equação que não tem solução quando y = 0 é a alternativa A. Isso significa que ela é a única curva que não corta a “região proibida” do domínio!

Resposta

Alternativa A.

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Seja f (x , y , z) = sqrt(x) + sqrt(y) + sqrt(z) + ln ( 4 - x^2 - y^2 - z^2 ) .Calcule f ( 1,1 , 1 ) .Determine o domínio de f .
Seja g x , y = c o s ⁡ ( x + 2 y ) .Calcule g ( 2 , - 1 ) .Determine o domínio de g . Determine a imagem de g
1. Desenhe a imagem:c)F (t) = (t , t , 1) , t = 0