Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

USP – Cálculo 2 – 2019 – P1 – Exercício 3

Considere a função

f x , y = x 4 + 4 x 3 y + 4 x 2 y 2 x 2 y 4 + y 2

É correto afirmar que o domínio de f contém

a) a elipse x 2 + 2 y - 1 2 = 1 .

b) a hipérbole x 2 - y 2 = 1 .

c) a reta y = x + 1 .

d) o círculo x 2 + y - 1 2 = 2 .

e) a parábola x = y - 1 2 + 1 .

Passo 1

Fala pessoal, bora resolver essa questão de prova?

O problema forneceu pra gente a função

f x , y = x 4 + 4 x 3 y + 4 x 2 y 2 x 2 y 4 + y 2

Ele quer saber qual das curvas apresentadas nas alternativas está no domínio de f . Portanto, o primeiro passo é identificar o domínio da função!

Como o denominador deve ser diferente de 0 :

x 2 y 4 + y 2 ≠ 0

Portanto,

y 2   x 2 y 2 + 1 ≠ 0

Mas note que x 2 + y 2 ≥ 0 . Portanto,

x 2 y 2 + 1 ≥ 1

Melhor ainda:

x 2 y 2 + 1 ≠ 0

Assim, a condição do domínio é dada simplesmente por

y 2 ≠ 0

Ou ainda,

y ≠ 0

Achamos que o domínio de f é

D f = x ,   y ∈ R 2 : y ≠ 0

Portanto, o domínio de f são todos os pontos do plano que não estão na reta y = 0 (eixo x ).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

No passo 1 identificamos que o domínio de f são todos os pontos do plano que não estão no eixo x . Assim, das curvas que estão dadas nas alternativas, temos que procurar a curva que não intersepta o eixo x (reta y = 0 ). Temos que testar uma por uma...

Na alternativa A, temos x 2 + 2 y - 1 2 = 1 . Fazendo y = 0 obtemos

x 2 + 2 = 1 ⇒ x 2 = - 1

Essa equação não tem solução real. Essa hipérbole não corta o eixo x ! Podemos assinalar essa alternativa já 😊

Passo 3

Vamos provar que as demais alternativas tem solução para y = 0 .

Na alternativa B, temos x 2 - y 2 = 1 . Logo, se y = 0 :

x 2 = 1 ⇒ x = ± 1

Na C, y = x + 1 . Assim, com y = 0 :

x + 1 = 0 ⇒ x = - 1

Na D, foi dado x 2 + y - 1 2 = 2 . Fazendo y = 0 :

x 2 = 2 ⇒ x = ± 2

Por fim, na E temos x = y - 1 2 + 1 . Com y = 0 :

x = 1 + 1 = 2

A única equação que não tem solução quando y = 0 é a alternativa A. Isso significa que ela é a única curva que não corta a “região proibida” do domínio!

Resposta

Alternativa A.

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