Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

UFF, P1 2013.2 Cálculo IIB prof. Sérgio, exercício 2

Considere a função

f x , y = x 2 25 + y 2 16 - 1

  1. Esboce o domínio de f .
  2. Esboce o gráfico de f determinando sua interseção com os eixos coordenados.

Passo 1

a)

Essa é tranquila! Lembra como acha o domínio de uma função de 2 variáveis?

Nessa função só temos que ficar ligados com essa raiz quadrada: o termo dentro dela não pode ser negativo!

x 2 25 + y 2 16 - 1 0

x 2 25 + y 2 16 1

Opaa, peraí! Isso tá com cara de elipse!

De fato, temos que

x 2 25 + y 2 16 = 1 x 2 5 2 + y 2 4 2 = 1

é a equação de uma elipse centrada na origem e com semieixos valendo 5 e 4 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então o domínio da f é tudo que está fora da elipse, ou seja, todo o R 2 , menos a região dentro dela.

O esboço do domínio vai ser:

Passo 3

b)

Agora ele pediu o esboço do gráfico. Nosso reflexo tem que ser: chamar f x , y de z ! Assim vamos ter:

z = x 2 25 + y 2 16 - 1

Podemos elevar z ao quadrado (mas tem que tomar muito cuidado com isso, vou explicar o porquê depois):

z 2 = x 2 25 + y 2 16 - 1

x 2 25 + y 2 16 - z 2 = 1

Se você estiver manjando bem de quádricas, vai identificar a equação de um hiperboloide de uma folha, com eixo em z .

É aquele cara com forma de reator de usina nuclear:

Então fica a dica, sempre bom estar com as equações das quádricas em dia que pode ajudar muito a resolver algumas questões!

Passo 4

Mas atenção!! Até separei um passo pra isso porque é bem importante!

A nossa função de origem é

z = x 2 25 + y 2 16 - 1

Ou seja, z 0 . Enquanto que na equação que achamos depois, do hiperboloide, z   admite valores negativos! Mas, repito, na nossa função z = f x , y não podemos ter valores negativos de z .

Portanto, o nosso gráfico vai ser na verdade só metade desse hiperboloide, só a parte acima do plano x y !

Beleza?? Tem que ficar esperto com isso!

Passo 5

Enfim, continuando.

Se você não identificou a superfície não tem muito problema, porque de qualquer forma ele pediu pra gente seguir o procedimento padrão: analisar as interseções do gráfico com os eixos coordenados.

Na verdade seriam as interseções com os planos coordenados, acredito que a questão esteja mal formulada, pois as interseções com os eixos se dariam só em alguns pontos (vide a figura aqui de cima).

Passo 6

Enfim, vamos começar zerando a variável z . Assim, podemos obter a interseção do nosso gráfico com o plano x y :

z = 0   x 2 25 + y 2 16 = 1 ,

que é exatamente a equação da elipse que delimita o domínio da função, e que já vimos na letra a):

Beleza, vamos prosseguir!

Passo 7

Agora vamos zerar a variável x . Vamos ter:

y 2 16 - z 2 = 1

Opa, é agora que o nosso gráfico começa a justificar seu nome de hiperboloide! Pois isso nada mais é que a equação de uma hipérbole.

O seu esboço ficaria assim

Lembrando que pro nosso gráfico só vamos considerar a parte com z 0 !!

Passo 8

Agora só falta zerar o y pra ver o que tá rolando no plano x z :

y = 0   x 2 25 - z 2 = 1

Novamente temos uma hipérbole, que vai ser um pouco mais “pontuda” que a anterior por conta desse 25 no lugar do 16 :

Vou repetir de novo, sou chato mesmo: pro gráfico a gente só vai usar a parte com z positivo!

Passo 9

Bem agora não tem jeito, é mão na massa! A partir de isso tudo que a gente viu, com determinação deve dar pra tirar um esboço decente do gráfico! Quero ver sangue no olho, que esse gráfico é chatinho de desenhar mesmo!!

Enfim, daria alguma coisa mais ou menos assim:

Viu, até no computador é chato de desenhar ;)

Resposta

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