UFF, P1 2013.2 Cálculo IIB prof. Sérgio, exercício 2
Considere a função
- Esboce o domínio de .
- Esboce o gráfico de determinando sua interseção com os eixos coordenados.
Passo 1
a)
Essa é tranquila! Lembra como acha o domínio de uma função de variáveis?
Nessa função só temos que ficar ligados com essa raiz quadrada: o termo dentro dela não pode ser negativo!
Opaa, peraí! Isso tá com cara de elipse!
De fato, temos que
é a equação de uma elipse centrada na origem e com semieixos valendo e .
Passo 2
Então o domínio da é tudo que está fora da elipse, ou seja, todo o , menos a região dentro dela.
O esboço do domínio vai ser:
Passo 3
b)
Agora ele pediu o esboço do gráfico. Nosso reflexo tem que ser: chamar de ! Assim vamos ter:
Podemos elevar ao quadrado (mas tem que tomar muito cuidado com isso, vou explicar o porquê depois):
Se você estiver manjando bem de quádricas, vai identificar a equação de um hiperboloide de uma folha, com eixo em .
É aquele cara com forma de reator de usina nuclear:
Então fica a dica, sempre bom estar com as equações das quádricas em dia que pode ajudar muito a resolver algumas questões!
Passo 4
Mas atenção!! Até separei um passo pra isso porque é bem importante!
A nossa função de origem é
Ou seja, . Enquanto que na equação que achamos depois, do hiperboloide, admite valores negativos! Mas, repito, na nossa função não podemos ter valores negativos de .
Portanto, o nosso gráfico vai ser na verdade só metade desse hiperboloide, só a parte acima do plano !
Beleza?? Tem que ficar esperto com isso!
Passo 5
Enfim, continuando.
Se você não identificou a superfície não tem muito problema, porque de qualquer forma ele pediu pra gente seguir o procedimento padrão: analisar as interseções do gráfico com os eixos coordenados.
Na verdade seriam as interseções com os planos coordenados, acredito que a questão esteja mal formulada, pois as interseções com os eixos se dariam só em alguns pontos (vide a figura aqui de cima).
Passo 6
Enfim, vamos começar zerando a variável . Assim, podemos obter a interseção do nosso gráfico com o plano :
que é exatamente a equação da elipse que delimita o domínio da função, e que já vimos na letra a):
Beleza, vamos prosseguir!
Passo 7
Agora vamos zerar a variável . Vamos ter:
Opa, é agora que o nosso gráfico começa a justificar seu nome de hiperboloide! Pois isso nada mais é que a equação de uma hipérbole.
O seu esboço ficaria assim
Lembrando que pro nosso gráfico só vamos considerar a parte com !!
Passo 8
Agora só falta zerar o pra ver o que tá rolando no plano :
Novamente temos uma hipérbole, que vai ser um pouco mais “pontuda” que a anterior por conta desse no lugar do :
Vou repetir de novo, sou chato mesmo: pro gráfico a gente só vai usar a parte com positivo!
Passo 9
Bem agora não tem jeito, é mão na massa! A partir de isso tudo que a gente viu, com determinação deve dar pra tirar um esboço decente do gráfico! Quero ver sangue no olho, que esse gráfico é chatinho de desenhar mesmo!!
Enfim, daria alguma coisa mais ou menos assim:
Viu, até no computador é chato de desenhar ;)