Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

CEFET-RJ, P1 prof. Roberto Thomé, exercício 2

Determine e esboce o domínio de f x , y = y - x 2 3 + x - y 4 - x y x + y

Passo 1

Essa é tranquila! O comando está bem claro, então é só colocar os nossos passos em ação!

Vendo a nossa função com atenção, podemos destacar dois casos que interferem no domínio:

1-Dentro das raízes de índice par não pode ter número menor que 0

2-O denominador da fração não pode ser 0

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Passo 2

Agora podemos estabelecer as restrições da função.

Se dentro das raízes pares não pode ter número menor que 0 , então, na nossa função

f x , y = y - x 2 3 + x - y 4 - x y x + y

dentro do termo

x - y 4

temos que

x - y 0

E dentro do termo

x + y

temos que

x + y 0

Por último, temos esse termos aqui

y - x 2 3

Como é uma raíz ímpar, não temos restrição nenhuma!

Passo 3

Se o denominador da fração x y x + y não pode ser 0 ...

x + y 0

Logo,

x + y 0

Só que como x + y é o argumento da raíz, ele não pode ser menor que 0 ! Então vamos atualizar o resultado que encontramos no passo 2. Fica, então

x + y > 0

Passo 4

Agora juntamos as duas expressões que temos!

x + y > 0

Como que você descobre o que essa desigualdade representa no plano? Basta fingir que é uma igualdade!

Veja, ficaria assim:

x + y = 0

x = - y

Essa é a reta que aponta pra baixo, passando pelo segundo e quarto quadrantes! Agora é só colocar o sinal da desigualdade de novo!

x > - y

Ou seja, essa parte do domínio é tudo à direita da reta x = - y , excluindo a reta (porque o sinal é só de “maior que”, e nao de “maior ou igual”). Enfim, encontramos isso:

e para

x - y 0

temos algo parecido. Agora teremos a reta x = y , e como o sinal é de maior ou igual, a reta está inclusa, é pegamos tudo à sua direita. Fica assim:

Passo 5

Pra gente esboçar o domínio todo é só sobrepor os que já temos! Fica assim:

Resposta

O domínio é dado por D que é a interseção do gráfico acima

E seu esboço é:

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