Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

Elaboração própria

Determine a imagem de f nos seguintes casos:

a) f x , y = e x y + 2

b) f x , y = 3 - ln x 2 + y

c) f x , y = 5 x 4 + 4 y 3 + 3 y 2 + 2 x + 1

d) f x , y = e y - x - x - y

Passo 1

É bom adquirir o reflexo de achar o domínio da função antes de partir pra imagem. Então vou fazer isso sempre, beleza?

a)

Primeiro podemos notar que não há nenhuma restrição na função, portanto seu domínio é todo o R 2 . Enfim, temos:

e x y > 0

e x y + 2 > 2

Portanto, a imagem de f é o conjunto 2 , + . Tranquilo né? Vamos pra próxima!

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Passo 2

b)

Nessa função tem uma restrição, por causa do logaritmo:

x 2 + y > 0

y > - x 2

Mas bom, isso não vai afetar a nossa imagem. Isso porque o logaritmo, ao contrário da exponencial, pode assumir valores negativos, positivos, todos os valores do R !

Assim,

ln x 2 + y R 3 - ln x 2 + y R

Ou seja, a imagem de f é todo o R !

Passo 3

c)

Mano, essa não tem muito mistério. É só uma função polinomial meio aleatória e sem nenhuma restrição (seu domínio é todo o R 2 ).

Nesse caso, não tem muito como justificar, mas intuitivamente podemos dizer que essa função pode assumir qualquer valor, e que, portanto, sua imagem é todo o R .

Passo 4

d)

Opa, essa aqui já é mais interessante!

A única restrição nessa função é a raiz quadrada, então temos:

x - y 0

x y

Então o domínio da função é o conjunto dos x , y do R 2 que respeitem essa condição.

Passo 5

Agora repare que:

x y y - x 0

Uma vez que a função exponencial é sempre crescente, podemos aplicar essa função dos dois lados da inequação:

e y - x 1

Por isso que é importante saber o domínio da função!! O valor máximo que esse termo e y - x pode assumir é 1, por causa da restrição da raiz quadrada.

Raiz quadrada, que é, aliás, positiva:

x - y 0

Então temos

e y - x - x - y 1

Assim, a imagem de f é o conjunto - , 1 .

Resposta

a) 2 , +

b) R

c) R

d) - , 1

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