Exercícios Resolvidos de Introdução às Funções de 2 Variáveis

UERJ, Lista 3 prof. Hamilton, exercício 6e

Esboce o gráfico da função t x , y = 16 - 4 x 2

Passo 1

Como se trata de uma função do tipo t ( x , y ) , colocamos nossa variável z para acharmos mais facilmente o desenho dela. Chamamos então,

z = t x , y

z = 16 - 4 x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vale perceber que nossa função é t x , y , mas na real o y não aparece nela!! Vamos ver agora, então, as curvas que a formam. Anulando a variável x observamos o que rola no plano y z

z = 16 - 4 x 2

Com x = 0 ...

z = 16 = 4

Olha!! Uma reta! Muito simples, na verdade... é uma reta no plano y z , que fica constantemente em altura z = 4 !

Passo 3

Agora vamos ver a curva dela no plano x z , anulando a variável y . Ops... ela já está anulada!, nossa função nao depende dela, lembra?

z = 16 - 4 x 2

z 2 = 16 - 4 x 2

z 2 16 + x 2 4 = 1

Temos uma equação de elipse!! Ou melhor, temos apenas a parte de cima de uma elipse, já que estamos pegando apenas z = 16 - 4 x 2 e não z = - 16 - 4 x 2 !

Passo 4

Agora vamos juntar tudo o que temos e fazer o gráfico!

Primeiro encontramos que a interseção do gráfico da função com o plano y z é a reta horizontal que passa pelo ponto 0,0 , 4 .

Depois encontramos uma meia elipse no plano x z que tem extremo também em 0,0 , 4 . Por que?

Vamos lembrar que a equação geral da elipse é:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Onde a e b são as variáveis que nos dizem o quanto ela está esticada em cada direção. No nosso caso, a 2 = 16 a = 4 , para a direção do eixo z. Como ela está centrada na origem, suas “pontas” caem certinho no eixo z , com 4 pra cima e pra baixo. Como só queremos a metade com z > 0 pegamos apenas a parte com extremo no 0,0 , 4 !

E ainda outra coisa, nossa função não depende da variável y , ou seja, ela percorre esse eixo com o que existe nos outros dois!

Então.... Temos um Cilindro!!!

Resposta

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