Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

1ii) Calcule a derivada de h x = x 1 2 + x tan ⁡ x + 1

Passo 1

Partiu então. Se a gente der uma boa olhada nessa função, podemos ver h x como uma razão entre duas funções. Não viu? Então saca só. Seja:

u x = x 1 2 + x

v x = tan ⁡ x + 1

Podemos entender nossa h x como:

h x = u x v x

E quando temos funções assim, a derivada segue a regra do quociente, beleza? Então vamos ter:

h ' x = u ' x v x - u x v ' x v 2 x

Calculando a derivada de u e de v , temos:

u ' x = x 1 2 + x ' = 1 2 x - 1 2 + 1

v ' x = tan ⁡ x + 1 ' = sin ⁡ x cos ⁡ x '

A derivada fica então:

h ' x = 1 2 x - 1 2 + 1 tan ⁡ x + 1 - x 1 2 + x sin ⁡ x cos ⁡ x ' tan ⁡ x + 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, ainda não acabou. Deixamos de propósito

sin ⁡ x cos ⁡ x '

Sem resolver porque iria requerer outra regra do quociente. Seja:

m x = sin ⁡ x cos ⁡ x = u x v x

Temos que:

m ' x = sin ⁡ x cos ⁡ x ' = u ' x v x - u x v ' x v 2 x

sin ⁡ x cos ⁡ x ' = cos ⁡ x cos ⁡ x - sin ⁡ x - sin ⁡ x cos 2 ⁡ x

sin ⁡ x cos ⁡ x ' = cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x

Completando então na derivada de h x , ficamos com:

h ' x = 1 2 x - 1 2 + 1 tan ⁡ x + 1 - x 1 2 + x sec 2 ⁡ x tan ⁡ x + 1 2

Resposta

h ' x = 1 2 x - 1 2 + 1 tan ⁡ x + 1 - x 1 2 + x sec 2 ⁡ x tan ⁡ x + 1 2

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