4) Para uma bola arremessada verticalmente sem resistência do ar, temos que a energia mecânica

m v t 2 2 + m g s t = E

Se conserva, onde s ( t ) e v ( t ) são, respectivamente, a posição e a velocidade instantâneas, m é a massa do bloco e g é a gravidade. Supondo que m = 1 , g = 2 e que E = 8 , temos que s ( t ) é a solução da seguinte equação

* s ' ( t ) 4 - s ( t ) = 2  

Como ilustra os itens a seguir, a equação ( * ) pode ser melhor entendida a partir do fato de que, se a derivada de uma função for identicamente nula em um intervalo, então a função é necessariamente constante.

a) Calcule as derivadas das funções - 2 4 - s ( t ) e 2 t .

b) Lembrando que se uma função tem derivada identicamente nula em um intervalo I , então ela é constante em I , use o item anterior e as informações dadas para obter uma relação entre as funções - 2 4 - s t e 2 t .

c) Use o item anterior e a condição inicial s 0 = 3 para obter a expressão de s ( t ) .

d) Determine a velocidade no instante t = 1 .

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Começando pelo item a), encontraremos a derivada de 2 t em relação ao tempo t .

Essa é uma derivada bem simples, não é mesmo?

2 t ' = 2

Já a outra função que precisamos derivar é um pouco mais complexa. Para essa função, temos que usar a regra da cadeia (já que estar em uma raiz torna uma função composta de t ) e vamos relembrar que:

x ' = 1 2 x

Então, para o nosso caso:

- 2 4 - s t ' = - 2 x ' x = 4 - s t 4 - s t ' = s ' ( t ) 4 - s ( t )

Passo 2

No item b), vamos utilizar os nossos cálculos do passo anterior para definir uma relação entre as duas funções.

Pelos cálculos do item anterior e como s ( t ) é a solução da equação:

* s ' ( t ) 4 - s ( t ) = 2  

Daí, temos que:

- 2 4 - s t ' = 2 = 2 t '

Para todo tempo t . Portanto as funções - 2 4 - s ( t ) e 2 t diferem por uma constante, ou seja, tem-se que

- 2 4 - s t = 2 t + K

Onde K é uma constante que pertence ao conjunto dos números R .

Passo 3

Partindo para o item c), vamos obter a expressão de s ( t ) .

Mais uma vez, usaremos as informações que encontramos no passo anterior para desenvolver o exercício.

Então, usando as informações do item anterior, temos que:

K = - 2 4 - s t - 2 t

Como s 0 = 3 (essa informação retiramos do enunciado), obtém-se que:

K = - 2 4 - 3 - 2 * 0

K = - 2 1

K = - 2

Agora que conhecemos a constante K , podemos aplicar na nossa igualdade encontrada no passo anterior:

- 2 4 - s t = 2 t - 2

Como você já percebeu, vamos resolver a igualdade para encontrar s ( t ) .

Resolvendo:

4 - s ( t ) = 2 t - 2 - 2

4 - s ( t ) = - t + 1

4 - s t 2 = 1 - t 2

Continuando a resolução:

4 - s t = 1 2 - 2 * 1 * t + t 2

4 - s t = 1 - 2 t + t 2

- s t = - 3 - 2 t + t 2

Finalizando:

s t = 3 + 2 t - t 2

Passo 4

No item d), precisamos definir uma função para a velocidade da bola. Apesar de não termos nenhuma evidência no enunciado do que deve ser feito, vamos utilizar um conceito físico.

A função que definimos foi de s ( t ) , ou seja, de espaço em função de tempo. Se derivarmos essa função uma vez, ou seja, se calcularmos a derivada primeira, teremos a função de velocidade.

Então:

s t = 3 + 2 t - t 2

v t = s ' t = 2 - 2 t

Para finalizar o exercício, encontraremos a velocidade no instante de tempo t = 1 . Então:

v t = 2 - 2 t

v 1 = 2 - 2 ( 1 )

v 1 = 0

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

a) 2 e s ' ( t ) 4 - s ( t )

b) - 2 4 - s t = 2 t + K , com K ∈ R

c) s t = 3 + 2 t - t 2

d) v 1 = 0

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Derive a função:R (t) = ( t + e^t ) ( 3 - sqrt(t) )