Calcule a derivada das seguintes funções:

a )   f x = arctan ⁡ x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = arctan ⁡ x

E pediu para calcularmos a derivada dela.

Uma inversa trigonométrica! Mas só sabemos a derivada das trigonométricas, não de suas inversas! E agora, como sair daqui?

Mas espera aí! A ideia é sempre sair do que conhecemos! Então a ideia aqui é chamar

y = f x = arctan ⁡ x

E aplicar a inversa

tan ⁡ y = x

E derivar implicitamente!

Nossa missão é usar derivada implícita para achar d y d x → f ' ( x ) . Beleza? Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Bora lá!

Passo 2

Nosso truquinho

tan ⁡ y = x

Agora derivando implicitamente em relação a x dos dois lados

sec 2 ⁡ y d y d x = 1

Isolando a derivada temos

d y d x = 1 sec 2 ⁡ y  

Mas sec ⁡ y = 1 cos ⁡ y ,

d y d x = cos 2 ⁡ y 1

E lembrando da identidade trigonométrica

sin 2 ⁡ y + cos 2 ⁡ y = 1

Ficamos com

d y d x = cos 2 ⁡ y sin 2 ⁡ y + cos 2 ⁡ y

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Mas nossa derivada é em relação a x , então vamos a mais um truque sujo!

Vamos multiplicar e dividir por 1 cos 2 ⁡ y o lado direito da derivada

d y d x = cos 2 ⁡ y sin 2 ⁡ y + cos 2 ⁡ y × 1 cos 2 ⁡ y 1 cos 2 ⁡ y

d y d x = 1 sin 2 ⁡ y cos 2 ⁡ y + 1

Tudo bem até aqui? Calma que não tem mais truque sujo!

Agora vamos lembrar que sin ⁡ y cos ⁡ y = tan ⁡ y

d y d x = 1 tan 2 ⁡ y + 1

E por fim podemos retornar para x ! Isso porque

x = tan ⁡ y

Daí nossa derivada da inversa da tangente é

d y d x = 1 x 2 + 1

E é isso! Até a próxima!

Resposta

d y d x = 1 x 2 + 1

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