Considere a função f e suas derivadas definidas abaixo

f ( x ) = - 2 x 2 x 2 - 1

f ' ( x ) = 4 x ( x 2 - 1 ) 2

f ' ' ( x ) = - 4 - 12 x 2 ( x 2 - 1 ) 3

As assíntotas do gráfico de f é correto afirmar que:

  1. x = - 1 ,   x = 1 são as únicas assíntotas verticais e não existem assíntotas horizontais
  2. x = - 1 ,   x = 1 são as únicas assíntotas verticais e y = - 2 é a única assíntota horizontal
  3. x = - 1 é a única assíntota vertical e y = - 2 é a única assíntota horizontal
  4. x = - 1 é a única assíntota vertical e não existem assíntotas horizontais
  5. não existem assíntotas verticais e y = - 2 é a única assíntota horizontal

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1.

Nosso objetivo é descobrir se a nossa f tem assíntotas verticais e horizontais

f ( x ) = - 2 x 2 x 2 - 1

f ' ( x ) = 4 x ( x 2 - 1 ) 2

Lembram das definições de assíntotas? Vamos dar uma revisada. As Assíntotas verticais ocorrem quando temos uma divisão zero. E as horizontais geralmente ocorrem quando os limites nos infinito convergem para um valor. Então, vamos começar vendo a Assíntota vertical.

Para termos o denominador da f igual a zero, precisamos que

x 2 - 1   =   0

⇒ x = 1

ou

x = - 1

Ou seja, temos duas assíntotas verticais. Uma em x = - 1 e outra em x = 1

Passo 2

Agora, temos as assíntotas verticais. Vamos verificar as assíntotas horizontais. Para isso, precisamos analisar os limites no infinito. Isto é

l i m x → ∞ f ( x )

E

l i m x → - ∞ f ( x )

Vamos começar calculando

l i m x → ∞ f ( x )

= l i m x → ∞ - 2 x 2 x 2 - 1

colocando x 2 em evidência temos:

= l i m x → ∞ - 2 x 2 x 2 ( 1 - 1 / x 2 )

= l i m x → ∞ - 2 ( 1 - 1 / x 2 )

Calculando o limite

= - 2

Ou seja, temos uma assíntota horizontal y = - 2

Vamos calcular o outro limite no infinito

l i m x → - ∞ f ( x )

= l i m x → - ∞ - 2 x 2 x 2 - 1

colocando x 2 em evidência temos:

= l i m x → - ∞ - 2 x 2 x 2 ( 1 - 1 / x 2 )

= l i m x → - ∞ - 2 ( 1 - 1 / x 2 )

Calculando o limite

= - 2

E obtemos o mesmo limite. Então podemos concluir que as assíntotas verticais de f são as retas x = - 1   e   x = - 1 e a assíntota horizontal é a reta y = - 2 . Que estão presentes na alternativa b )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

b )

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