5) Denote por v ( t ) a velocidade de um corpo de massa m = 0,1   k g que foi lançado verticalmente com velocidade inicial v 0 = 63   m / s e sujeito a uma força de resistência do ar F R = - v ( t ) . Nesse caso, usando a aproximação g = 10   m / s 2 da aceleração da gravidade, pode-se mostrar que v ( t ) é solução do problema de valor inicial

v ' ( t ) 1 + v ( t ) = - 10 ,           t > 0 v 0 = 63

Para encontrar a solução v ( t ) , resolva os itens seguintes.

a) Calcule as derivadas das funções ln ⁡ ( 1 + v t ) e - 10 t .

b) Lembrando que se uma função tem derivada identicamente nula em um intervalo I , então ela é constante em I , use o item anterior e as informações dadas para obter uma relação entre as funções ln ⁡ ( 1 + v t ) e - 10 t .

c) Use o item anterior e a condição inicial v 0 = 63 para obter a expressão de v ( t ) .

d) Determine o instante em que o corpo alcança a altura máxima.

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Começando pelo item a), encontraremos a derivada de - 10 t em relação ao tempo t .

Essa é uma derivada bem simples, não é mesmo?

- 10 t ' = - 10

Já a outra função que precisamos derivar é um pouco mais complexa. Para essa função, temos que usar a regra da cadeia (já que estar em uma raiz torna uma função composta de t ) e vamos relembrar que:

ln ⁡ ( x ) ' = 1 x

Então, para o nosso caso:

ln ⁡ 1 + v t ' = v ' ( t ) 1 + v ( t )

Passo 2

No item b), vamos utilizar os nossos cálculos do passo anterior para definir uma relação entre as duas funções.

Pelos cálculos do item anterior e como v ( t ) é a solução da equação do nosso enunciado, temos que:

ln ⁡ ( 1 + v t ) ' = - 10 = - 10 t '

Para todo tempo t . Portanto as funções ln ⁡ ( 1 + v t ) e - 10 t diferem por uma constante, ou seja, tem-se que

ln ⁡ ( 1 + v t ) = - 10 t + K

Onde K é uma constante que pertence ao conjunto dos números R .

Passo 3

Partindo para o item c), vamos obter a expressão de v ( t ) .

Mais uma vez, usaremos as informações que encontramos no passo anterior para desenvolver o exercício.

Então, usando as informações do item anterior, temos que:

K = ln ⁡ ( 1 + v t ) + 10 t

Como v 0 = 6 3 (essa informação retiramos do enunciado), obtem-se que:

K = ln ⁡ ( 1 + 63 ) + 10 * 0

K = ln ⁡ ( 64 )

Agora que conhecemos a constante K , podemos aplicar na nossa igualdade encontrada no passo anterior:

ln ⁡ ( 1 + v t ) = - 10 t + ln ⁡ ( 64 )

Como você já percebeu, vamos resolver a igualdade para encontrar s ( t ) .

Resolvendo:

e ln ⁡ ( 1 + v t ) = e - 10 t + e ln ⁡ ( 64 )

1 + v t = e - 10 t * ln ⁡ ( 64 )

Continuando a resolução:

1 + v t = 64 e - 10 t

Finalizando:

v t = 64 e - 10 t - 1

Passo 4

No item d), precisamos definir qual o instante t onde a altura é a maior possível. Como estamos falando de altura, precisaríamos de uma função que tratasse do espaço. Fisicamente, para isso, precisaríamos integrar a função de velocidade v ( t ) .

Porém, para encontrarmos um ponto de máxima (no caso, a altura máxima) teríamos que derivar a função de espaço uma vez e igualar a zero.

E como já temos essa “derivada” (que é a própria função de velocidade), só nos resta igualar a zero e resolver.

Muito bacana, né?

Então vamos nessa:

64 e - 10 t - 1 = 0

64 e - 10 t = 1

e - 10 t = 1 64

Continuando a resolução:

ln ⁡ e - 10 t = ln ⁡ 1 64

- 10 t = ln ⁡ 1 64

t = - ln ⁡ 1 64 10

Resolvendo essa igualdade:

t = 0,414

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

a) v ' ( t ) 1 + v ( t ) e - 10

b) ln ⁡ ( 1 + v t ) = - 10 t + K , com constante K ∈ R

c) v t = 64 e - 10 t - 1

d) t = 0,414

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Derive a função:R (t) = ( t + e^t ) ( 3 - sqrt(t) )