Determine a derivada de cada função:

(9) f x = x 2 - 1 x + 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a derivada da função:

f x = x 2 - 1 x + 1

Como a gente tem um quociente de funções, nada mais justo que usar a regrinha do quociente na derivação. Lembra dela? Se não lembra, vamos relembrar:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' ( x ) g x 2

No nosso caso, vamos chamar f x = x 2 - 1 e g x = x + 1 . Assim, basta seguir a fórmula e ir substituindo as derivadas.

Vamos lá!

Passo 2

Pela regra do quociente, vamos ter:

x 2 - 1 x + 1 ' = x 2 - 1 ' x + 1 - x 2 - 1 x + 1 ' x + 1 2

Agora a gente tem que derivar os termos do numerador, usando a regra da potência ( d d x x n = n x n - 1 ), beleza? Fica assim:

x 2 - 1 x + 1 ' = ( 2 x 2 - 1 - 0 ) x + 1 - x 2 - 1 ( x 1 - 1 + 0 ) x + 1 2

Os termos nulos são porque a derivada de uma constante é sempre zero. Então, arrumando um pouquinho nossa expressão, temos:

x 2 - 1 x + 1 ' = 2 x x + 1 - x 2 - 1 x + 1 2

Abrindo os produtos e simplificando:

x 2 - 1 x + 1 ' = 2 x 2 + 2 x - x 2 - 1 x + 1 2 = x 2 + 2 x + 1 x 2 + 2 x + 1

x 2 - 1 x + 1 ' = 1

A gente também poderia ter chegado nesse resultado fatorando primeiro nossa expressão e depois derivando:

x 2 - 1 x + 1 ' = d d x x + 1 x - 1 x + 1 = d d x ( x - 1 ) = 1

Das duas formas dá certinho, mas essa acaba sendo mais rápida.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

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