Determine a derivada das funções abaixo

o )   f x = x 3 + s e n   x x 3 - s e n   x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema deu essa função aqui

f x = x 3 + s e n   x x 3 - s e n   x

E pediu a derivada!

Assim que você olhar uma função que tem uma divisão precisa pensar logo na REGRA DO QUOCIENTE!

A regra do quociente nos diz como derivar uma função que pode ser escrita como uma divisão de duas outras funções.

Por exemplo, a derivada de uma divisão de duas funções h g ' :

h g ' = h ' g - g ' h g 2

A ideia aqui é identificar quem são essas funções f e g no nosso exercício, calcular a derivada de cada uma delas e jogar os resultados (e as funções) na regra do produto

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

O exercício pediu a derivada dessa função

f x = x 3 + s e n   x x 3 - s e n   x

Então a função de cima da regra do quociente h é ( x 3 + s e n x ) e a debaixo g é ( x 3 - s e n x ) .

Para a regra do quociente precisamos das derivadas dessas duas partes, então é isso que vamos fazer agora

Primeiro a h = x 3 + s e n   x

h ' = 3 x 2 + cos ⁡ x

Beleza?

Agora a g = x 3 - s e n x

g ' = 3 x 2 - cos ⁡ x

Tranquilo?

Passo 3

Juntando os resultados, vamos aplicar na regra do quociente

h g ' = h ' g - g ' h g 2

Com h = x 3 + s e n   x com h ' = 3 x 2 + cos ⁡ x , e g = x 3 - s e n x e sua respectiva derivada g ' = 3 x 2 - cos ⁡ x . Aí a derivada de f x é:

f ' x = x 3 + s e n   x   x 3 - s e n x ' = 3 x 2 + cos ⁡ x . x 3 - s e n x - 3 x 2 - cos ⁡ x . ( x 3 + s e n   x ) x 3 - s e n x 2

Podemos juntar os termos semelhantes no numerador e deixar nossa derivada um pouco mais simpática

f ' x = 2 x 3 cos ⁡ x - 6 x 2 s e n   x x 3 - s e n x 2

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

f ' x = 2 x 3 cos ⁡ x - 6 x 2 s e n   x x 3 - s e n x 2

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