Determine a derivada das funções abaixo

k )   g x = e x 3 ln ⁡ ( 3 + x )

Passo 1

Oi, pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema deu essa função aqui

g x = e x 3 ln ⁡ ( 3 + x )

E pediu a derivada!

Assim que você olhar uma função que tem um produto e precisa calcular a derivada dela, precisa pensar logo na REGRA DO PRODUTO!

A regra do produto nos diz como derivar uma função que pode ser escrita como uma multiplicação de duas outras funções.

Por exemplo, a derivada de uma divisão de duas funções f . h ' :

f x . h ( x ) ' = f ' x h x + h ' ( x ) f ( x )

A ideia aqui é identificar quem são essas funções f e h no nosso exercício, calcular a derivada de cada uma delas e jogar os resultados (e as funções) na regra do produto

Só que tem mais um detalhe! As funções que compõe esse produto são compostas!

Isso mesmo! As derivadas das funções de cima e de baixo precisam ser calculadas utilizando a regra da cadeia!

Então primeiro vou calcular as derivadas das funções que compõe as duas parcelas da multiplicação, para depois substituir na regra do produto, beleza?

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é a seguinte:

g x = e x 3 ln ⁡ ( 3 + x )

A primeira função vou chamar de f : f x = e x 3 . E a outra de h : h x = ln ⁡ ( 3 + x ) .

Vamos começar derivando a primeira!

A função que temos é:

f x = e x 3

A função que “está por fora” é a exponencial, e ela sabemos derivar se o argumento for apenas y :

e y ' = e y

Só que o argumento da nossa raiz não é y , é ( x 3 ) . E por isso precisamos da regra da cadeia! Chamei o argumento de y para facilitar nossa, vida, mas pode ser qualquer coisa! Função trigonométrica, polinômio...

Para derivar funções assim (funções compostas) precisamos identificar a função que está mais “por fora”, a que está mais “por dentro” e aplicar a regra da cadeia

A regra da cadeia é o seguinte: seja uma função composta a ( b ( x ) ) , a derivada dessa função é:

a b x ' = a ' b x . b ' ( x )

Nós derivamos a função que está “por fora”, mantendo o argumento da que está por dentro a ' b x , depois multiplicamos esse resultado pela derivada da função de dentro b ' ( x )

A função de fora é a = e b , cuja derivada é a ' = e b , e a de dentro é b = x 3 , cuja derivada é 3 x 2 . Então agora é só substituir esses resultados na regra da cadeia:

f ' x = e x 3 ' = e x 3 . x 3 ' = 3 x 2 e x 3

Tranquilo?

Agora vamos derivar a outra parcela:

h x = ln ⁡ ( 3 + x )

aqui a função de “fora” é a = ln ⁡ b , cuja derivada é a ' = 1 / b . E aí a função de dentro é b = 3 + x , cuja derivada é b ' = 1 2 x . Assim aplicando a regra da cadeia, a derivada de h fica:

h ' x = 1 b . b ' = 1 3 + x . 1 2 x = 1 2 x 3 + 3

Beleza?

Passo 3

Agora com as derivadas na mão, vamos jogar tudo dentro da regra do produto!

Relembrando, nossa função era:

g x = e x 3 ln ⁡ ( 3 + x ) = f x . h ( x )

Aí chamamos de f ( x ) a primeira parcela da multiplicação e de h ( x ) a segunda. As funções e as derivadas são:

f x = e x 3

f ' x = 3 x 2 e x 3

E também

h x = ln ⁡ ( 3 + x )

h ' x = 1 2 x 3 + 3

Agora precisamos aplicar a regra do produto:

g ' x = f x . h ( x ) ' = f ' x h x + h ' ( x ) f ( x )

Substituindo temos:

g ' x = 3 x 2 e x 3 . ln ⁡ ( 3 + x ) + 1 2 x 3 + 3 . e x 3

Não conseguimos fazer grandes simplificações, apenas as multiplicações

g ' x = 3 x 2 e x 3 ln ⁡ ( 3 + x ) + e x 3 2 x 3 + 3

E é essa nossa resposta!

Não ficou lá muito bonita, mas o que importa é que está correta! Então te liga no seguinte: aplicar a regra do produto/quociente não te isenta de ter que aplicar a regra da cadeia em alguma parcela viu! Então minha dica é a seguinte: identifica as partes (seja da razão, seja da multiplicação), deriva elas individualmente (aplica a cadeia quando for preciso) e só depois substitui na regra do quociente (ou produto)

Beleza?

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

g ' x = 3 x 2 e x 3 ln ⁡ ( 3 + x ) + e x 3 2 x 3 + 3

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Derive a função: R t = ( t + e t ) ( 3 - t )