Exercícios Resolvidos de Regra do Produto e do Quociente

b) Determine a função derivada

f x = x sin ⁡ x + cos ⁡ x

Passo 1

Antes de começarmos, vamos dar uma boa olhada na função que vamos derivar:

f x = x sin ⁡ x + cos ⁡ x

Opa, não é que tem uma função sendo dividida por outra? Se chamarmos

g x = x

h x = sin ⁡ x + cos ⁡ x

Podemos olhar f x como:

f x = g x h x

E pra derivar um quociente de função usamos ninguém mais e ninguém menos que a regra do quociente, que fica:

f ' x = g ' x h x - g x h ' x h 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando as derivadas de g x e h x

Vamos na ordem, a primeira função que queremos derivar é g x , que é só um x sozinho. Usando a regra:

x a ' = a x a - 1

Ficamos com:

g ' x = 1

Agora pra h x , temos:

h x = sin ⁡ x + cos ⁡ x

Como temos a soma de seno com cosseno, podemos derivar cada uma separadamente, e ficamos com:

h ' x = sin ⁡ x ' + cos ⁡ x '

h ' x = cos ⁡ x - sin ⁡ x

E a derivada de f x fica então:

f ' x = g ' x h x - g x h ' x h 2 x

f ' x = sin ⁡ x + cos ⁡ x - x cos ⁡ x - sin ⁡ x sin ⁡ x + cos ⁡ x 2

O que simplifica para:

f ' x = sin ⁡ x + cos ⁡ x - x cos ⁡ x + x sin ⁡ x sin 2 ⁡ x + 2 sin ⁡ x cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x

f ' x = 1 - x cos ⁡ x + 1 + x sin ⁡ x 1 + sin ⁡ 2 x

Resposta

f ' x = 1 - x cos ⁡ x + 1 + x sin ⁡ x 1 + sin ⁡ 2 x

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