5 - De uma folha de alumínio com 12 c m de largura, deseja-se construir uma calha, dobrando-se os lados da folha para cima e formando duas abas de mesmo tamanho, de modo que estas abas façam o mesmo ângulo com a horizontal. Qual a largura L das abas e que ângulo θ elas devem fazer com a horizontal para que a capacidade da calha seja máxima?

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Imagine que temos que fazer uma calha pra sua casa, mas nosso(a) irmão/irmã cortou a folha de alumínio mais estreita do que tínhamos pensado. Pra solucionar esse problema, temos que escolher de forma mais precisa os pontos que vamos dobrar a folha pra fazer nossa calha.

E aí! Como vamos fazer isso?? 🤔🤔

Fazendo um corte perpendicular a calha, vamos ter algo tipo assim

Essa figura parece com o que? Um trapézio, não é?

E qual a área do trapézio?

A = B m a i o r + b m e n o r · h 2

Pela figura, podemos concluir que

2 a + b = 12

Correto? Com essas informações, vamos concluir nosso problema!

Passo 2

Antes de iniciar, temos que definir o que é B m a i o r

Pela figura, conseguimos definir que B m a i o r = 2 a cos ⁡ θ + b , sendo que podemos escrever b = 12 - 2 a e também podemos ver que b m e n o r é igual a b .

E h , a altura do trapézio é dado pelo θ , logo h = a   s e n θ

Substituindo essa informação em A , temos

A = 2 a cos ⁡ θ + 12 - 2 a + 12 - 2 a · a   s e n θ 2

A = 2 a cos ⁡ θ + 24 - 4 a · a   s e n θ 2

Simplificando nossa equação, temos

A = a cos ⁡ θ + 12 - 2 a a   s e n θ

Para achar a distância que maximiza a função, vamos derivar e igualar a 0 , assim como fazíamos pra obter os pontos críticos de uma função, lembra?

d A d a = d a cos ⁡ θ + 12 - 2 a a   s e n θ d a

Observe que vamos obter essa derivada aplicando a regra do produto, já que A = f a · g a , onde f a = a cos ⁡ θ + 12 - 2 a e g a =   a   s e n θ .

Com isso, a regra do produto nos diz que

A ' = f ' · g + f · g '

Ou seja, a derivada de A , é dada por

A ' = d a cos ⁡ θ + 12 - 2 a d a · a   s e n θ + a cos ⁡ θ + 12 - 2 a · d a   s e n θ d a

Como a só aparece em primeira ordem, usando o método de derivação por polinômios. Multiplicando a variável pela potência e subtraindo 1 do expoente.

d a cos ⁡ θ + 12 - 2 a d a = 1 · a 1 - 1 cos ⁡ θ + 12 - 1 · 2 a 1 - 1

d a cos ⁡ θ + 12 - 2 a d a = cos ⁡ θ - 2

d a   s e n θ d a = 1 · a 1 - 1 s e n θ = s e n θ

Substituindo em A '

A ' = cos ⁡ θ - 2 · a   s e n θ + a cos ⁡ θ + 12 - 2 a · s e n θ

Simplificando o resultado, temos

A ' = a cos ⁡ θ - 2 a s e n θ + a cos ⁡ θ + 12 - 2 a s e n θ

A ' = 2 a cos ⁡ θ + 12 - 4 a s e n θ

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Igualando nossa derivada a 0 , temos

2 a cos ⁡ θ + 12 - 4 a s e n θ = 0

Logo s e n θ = 0 (o que podemos descartar) ou 2 a cos ⁡ θ + 12 - 4 a = 0

Isolando a em um lado da equação, temos

2 a cos ⁡ θ - 4 a = - 12

a = - 12 2 cos ⁡ θ - 4

Simplificando o resultado, temos

a = - 6 cos ⁡ θ - 2

Obtemos que a depende do ângulo θ , então temos que calcular o melhor ângulo possível.

Substituindo a em A , temos que

A = - 6 cos ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ + 12 - 2 - 6 cos ⁡ θ - 2 - 6 cos ⁡ θ - 2   s e n θ

Simplificando nosso resultado, temos

A = - 6 cos ⁡ θ + 12 cos ⁡ θ - 2 + 12 cos ⁡ θ - 2 - 6 cos ⁡ θ - 2   s e n θ

A = 6 cos ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ - 2 - 6 cos ⁡ θ - 2   s e n θ

A = - 36 s e n θ cos ⁡ θ - 2  

Agora vamos derivar A em função de θ

A ' θ = d - 36 s e n θ cos ⁡ θ - 2 d θ

Nesse caso, temos um quociente de duas funções, então vamos aplicar a regra do quociente para derivar A .

Essa regra nos diz que se temos A = f / g , então

A ' = f ' · g - f · g ' g 2

Então, temos

A ' = d - 36 s e n θ d θ · cos ⁡ θ - 2 - - 36 s e n θ · d cos ⁡ θ - 2 d θ cos ⁡ θ - 2 2

Passo 4

Sabemos pelo teorema fundamental do cálculo que a derivada do s e n = c o s e c o s = - s e n , logo

A ' = - 36 cos ⁡ θ · cos ⁡ θ - 2 - - 36 s e n θ · - s e n θ cos ⁡ θ - 2 2

A ' = - 36 cos 2 ⁡ θ + 72 cos ⁡ θ - 36 s e n 2 θ cos ⁡ θ - 2 2

Igualando a 0 , obtemos

- 36 cos 2 ⁡ θ + 72 cos ⁡ θ - 36 s e n 2 θ cos ⁡ θ - 2 2 = 0

Para essa equação ser satisfeita, o numerador deve ser 0 , então

- 36 cos 2 ⁡ θ + 72 cos ⁡ θ - 36 s e n 2 θ = 0

Simplificando a equação, vamos ter

- 36 cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ + 72 cos ⁡ θ = 0

Sabemos que cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ - 1

- 36 + 72 cos ⁡ θ = 0

72 cos ⁡ θ = 36

cos ⁡ θ = 1 2

Calculando o a r c c o s de 1 / 2 , resultamos em

θ = 60 °

Encontramos nosso ângulo!!

Passo 5

Substituindo esse valor em a , temos

a = - 6 cos ⁡ θ - 2

cos ⁡ θ = 1 2 , então

a = - 6 1 2 - 2

a = 4

Com isso, obtemos os valores de a e θ !

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

θ = 60 °

a = 4

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Derive a função:R (t) = ( t + e^t ) ( 3 - sqrt(t) )