C5. Uma das regras de derivação é a regra do produto, que diz que u v ' = u ' v + v ' u .

  1. Aplique a fórmula acima duas vezes em sequência e encontre uma regra para derivada do produto u v w de três funções.
  2. Estenda seu raciocínio para encontrar uma fórmula para a derivada do produto f 1 f 2 ⋯ f n de n funções.
  3. Utilize a fórmula descoberta para calcular a derivada de f x = x 2 e x x   l n l n   x   .

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Nesse problema a gente vai ter que estender a regra do produto

u v ' = u ' v + v ' u

Para quando temos um produto de várias funções. A ideia é a gente calcular a derivada para um produto de três funções e ver se tem algum padrão. Esse padrão a gente usa para calcular a derivada de um produto de várias funções. Beleza?? Então partiu!

Passo 2

(a) Vamos começar supondo que temos um produto u v w de três funções e queremos calcular a derivada disso:

( u v w ) '

A gente pode pensar que temos duas funções. Uma delas é o produto u v e a outra é a função w . Dessa maneira a gente pode usar a regra do produto como conhecemos:

u v w ' = u v ' w + u v . w '

Só que olha só, aquela primeira derivada que surgiu no lado direito da equação a gente conhece pela regra do produto que já nos foi dado: u v ' = u ' v + v ' u

Então temos

u v w ' = ( u ' v + v ' u ) w + u v . w '

Distribuindo aquele produto que apareceu: u v w ' = u ' v w + u v ' w + u v w '

Passo 3

(b) Agora que a gente tem a regra do produto para três funções:

u v w ' = u ' v w + u v ' w + u v w '

A gente consegue perceber que aparece um padrão. Se temos três funções a gente deriva a primeira e multiplica pelas outras duas. Depois a gente soma com a derivada da segunda multiplicada pela primeira e pela terceira função. E por fim a gente soma com a derivada da última função multiplicada pela primeira e pela segunda função.Dessa forma, para um produto de várias funções f 1 f 2 ⋯ f n , a gente tem a regra:

( f 1 f 2 ⋯ f n ) ' = f 1 ' f 2 f 3 ⋯ f n + f 1 f 2 ' f 3 ⋯ f n + ⋯ f 1 f 2 f 3 ⋯ f n '

Passo 4

( c) Para calcular a derivada da função f x = x 2 e x x   l n l n   x   nós vamos usar a fórmula que a gente obteve no passo anterior que para quatro funções é:

f 1 f 2 f 3 f 4 ' =   f 1 ' f 2 f 3 f 4 +   f 1 f 2 ' f 3 f 4 +   f 1 f 2 f 3 ' f 4 +   f 1 f 2 f 3 f 4 '

Dessa forma temos:

x 2 e x x   l n l n   x   ' = ( x 2 ) ' e x x   l n l n   x   +   x 2 ( e x ) ' x   l n l n   x   +   x 2 e x ( x   ) ' l n l n   x   +   x 2 e x x   ( l n l n   x   ) '

Usando as derivadas das funções temos:

x 2 e x x   l n l n   x   ' = 2 x e x x   l n l n   x   +   x 2 e x x   l n l n   x   +   x 2 e x c o s c o s   x   l n l n   x   +   x 2 e x x   1 x

x 2 e x x   l n l n   x   ' = 2 x e x x   l n l n   x   +   x 2 e x x   l n l n   x   +   x 2 e x c o s c o s   x   l n l n   x   +   x 2 e x x  

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

a ) u v w ' = u ' v w + u v ' w + u v w ' b ) ( f 1 f 2 ⋯ f n ) ' = f 1 ' f 2 f 3 ⋯ f n + f 1 f 2 ' f 3 ⋯ f n + ⋯ f 1 f 2 f 3 ⋯ f n '

c ) x 2 e x x   l n l n   x   ' = 2 x e x x   l n l n   x   +   x 2 e x x   l n l n   x   +   x 2 e x c o s c o s   x   l n l n   x   +   x 2 e x x  

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Derive a função: R t = ( t + e t ) ( 3 - t )