Seja g : R → R , diferenciável; g 0 = 1 2 e g ' 0 = 1

Calcule f ' ( 0 ) , onde f x = cos ⁡ x g 2 tan ⁡ x x 2 + 2

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou traduzir ela para você! Vamos lá?

“Seja g : R → R , diferenciável”

Até aqui tudo bem, só está comentando que podemos derivar essa tal função g ! E que ela pertence ao mundo dos reais!

g 0 = 1 2 e g ' 0 = 1

Aqui ele nos dá duas informações! Uma sobre a função g e outra sobre a derivada!

“Calcule f ' ( 0 ) ,”

Queremos calcular a derivada de uma outra função, a f ! E ainda por cima em zero! Mas quem será essa f ? Vamos ao final do problema:

“onde f x = cos ⁡ x g 2 tan ⁡ x x 2 + 2

f que é definida em termos dessa outra função g que ele falou! Notem que a g é uma função que está ao quadrado e é composta!

Isso mesmo, composta! Isso porque ao invés de termos apenas um x ali dentro de g , temos uma outra função! Aquela tangente! E ainda por cima, dentro da tangente temos uma razão de polinômios!

Sendo assim, queremos a derivada da f e que para isso precisamos derivar também a g !

E ainda aplicada em um ponto muito específico, a r g u m e n t o = 0 ! E eu chamei de argumento mesmo, pois dentro da g temos uma função, um argumento, e não simplesmente x !

Na verdade, o ponto que temos é f quando x = 0 . Que vai representar g ( 0 ) também, mas poderia não ser!

Ah rá! Agora chegamos ao que o problema queria: a derivada de f em um ponto x = 0 . Mas o que será que esse ponto representa na g ? Zero também!

O ponto x = 0 para a f é onde tan ⁡ 0 0 2 + 2 = 0 na g ! Então calcular a derivada de f vai envolver a derivada de g , e aplicar essa derivada em 0 na f é o mesmo que aplicar zero em g !

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Precisamos derivar essa coisa:

f x = cos ⁡ x g 2 tan ⁡ x x 2 + 2

Mas qual técnica usar? Regra do produto, pois temos um cosseno multiplicando a função g . Beleza?

E não é só isso! Vamos usar também a regra da cadeia, já que a função g está ao quadrado (potência: função mais externa) e dentro dela tem outra função (a tangente e ainda dentro da tangente uma razão de polinômios)

Beleza?

então #partiu derivar!

f x = cos ⁡ x g 2 tan ⁡ x x 2 + 2

f ' x = - s e n x . g 2 tan ⁡ x x 2 + 2 + cos ⁡ x . 2 . g tan ⁡ x x 2 + 2 . g ' tan ⁡ x x 2 + 2 . tan ⁡ x x 2 + 2 '

Tranquilo até aqui?

tan x x 2 + 2 que é o argumento dentro da função g . Vamos lá! Força na peruca!

f ' x = - s e n x . g 2 tan ⁡ x x 2 + 2 + cos ⁡ x . 2 . g tan ⁡ x x 2 + 2 . g ' tan ⁡ x x 2 + 2 . sec 2 ⁡ x x 2 + 2 .   1 x 2 + 2 - 2 x x x 2 + 2 2

Beleza? Vamos guardar esse resultado!

Passo 3

Estamos quase lá! Agora nossa missão é aplicar no ponto dado! Queremos a derivada de f em x = 0 , e sabemos que g 0 = f ( 0 ) , então:

f ' 0 = - s e n 0 . g 2 tan ⁡ 0 0 2 + 2 + cos ⁡ 0 . 2 . g tan ⁡ 0 0 2 + 2 . g ' tan ⁡ 0 0 2 + 2 . sec 2 ⁡ 0 0 2 + 2 .   1 0 2 + 2 - 2 . 0 0 0 2 + 2 2

E simplificando temos:

f ' 0 = 0 + 1 . 2 . g tan ⁡ 0 . g ' tan ⁡ 0 . sec 2 ⁡ 0 .   2 2 2

f ' 0 = 2 . g 0 . g ' 0 . 1 2 . sec 2 ⁡ 0

Viu como naturalmente surgiu um g 0 e   g ' ( 0 ) ? Só colocando x = 0 ! Agora vamos calcular essas coisas!

Agora vamos relembrar das informações dadas sobre a derivada e a própria função f em zero:

g 0 = 1 2 g ' 0 = 1

Agora é só substituir!

f ' 0 = 2 . g 0 . g ' 0 . 1 2 . sec 2 ⁡ 0

f ' 0 = 2 . 1 2 . 1 . 1 2 . 1 2 = 1 2  

E é isso! Então nosso resultado é:

f ' 0 = 1 2  

Ufa! Terminamos! Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

f ' 0 = 1 2

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