Seja p ≠ - 2 o único número real tal que a reta tangente ao gráfico de f x = - x x + 2 no ponto p , f p passa pelo ponto ( - 2,0 ) . Então o valor de f ( p ) vale quanto?

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?

Você se lembra como é a reta tangente que passa por uma curva? E mais do que isso, você se lembra como a gente calcula esse parananuê?

A equação de uma reta tangente à uma curva qualquer é dada por:

y - y 0 = f ' x 0 x - x 0

Onde y 0 e x 0   são os pontos específicos da curva onde você quer avaliar a reta tangente. Opa, isso te lembra alguma coisa que o enunciado já nos deu? SIMMMMMMM!!

O enunciado falou pra gente que ele quer avaliar o ponto p , f p , ou seja:

x 0 = p

y 0 = f ( p )

Por consequência, ele quer avaliar a derivada ali em p , tal que f ' x 0 = f ' ( p )

Agora que sabemos e conseguimos extrair essas informações do enunicado, vamos seguir!!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função aplicada ao ponto p .

f x = - x x + 2

Aplicando a regra do quociente:

f ' x = - x + 2 - x x + 2 2

f ' x = - 2 x + 2 2

Aplicado ao ponto p :

f ' p = - 2 p + 2 2

Passo 3

Substituindo na nossa equação da reta, temos:

y = f p - 2 p + 2 2 2 - p

O problema diz que essa reta PASSA PELO PONTO ( - 2,0 ) , isso quer dizer que essa coordenada PERTENCE à reta tangente, logo são valores que y e x podem assumir na nossa equação acima, e, portanto:

- 2 = f p - 2 ( 2 - p ) p + 2 2

f p = - 2 ( p + 2 ) p + 2 2

Ou seja, como esse ponto pertence à reta tangente e por consequência a curva, temos que essa coordenada ( - 2,0 ) é um ponto comum, e, por se tratar de uma reta tangente à uma curva, ambas estão interecpetadas entre si. Portanto, precisamos igualar a curva no ponto p com a curva nesse mesmo ponto:

f x = f ( p )

- p p + 2 = - 2 p + 2

Resolvendo, temos que:

p p + 2 p + 2 = 2

p = 2

Passo 4

Portanto, se p = 2

f p = - 2 p + 2

f p = - 1 2

Tcharaammmm! Chegamos no valor final que estávamos precisando!!!

Resposta

-1/2

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Derive a função:R (t) = ( t + e^t ) ( 3 - sqrt(t) )