Sejam f x ,   g x ,   e   h ( x ) funções deriváveis.

  1. Use a regra do produto para provar que:
  2. f g h ' = f ' g h + f g ' h + f g h '

  3. Diferencie f x = e 3 x

Passo 1

Bem, vamos partir pra letra (a) sem mais delongas! Quando vem essas questões de “prova que” costuma dar aquele frio na barriga, né? Mas a tática é sempre você pegar o que está sendo dado e simplesmente aplicar as propriedades de cálculo. Por exemplo, na letra (a) vamos aplicar direto a regra do produto.

Passo 2

(a)

f g h ' = f ' g h + f g ' h + f g h '

Temos que provar isso, então vamos derivar f g h '

Pra gente não se perder, eu recomendo a gente acoplar duas funções ali, tipo assim: f g h ' , porque com isso a gente aplica a regra do produto sem se perder!!

f g h ' = f ' g h + f g h '

Note que ali tem outra regra do produto g h ' = g ' h + g h ' , então substituindo temos:

f g h ' = f ' g h + f g ' h + g h '

Agora vamos rearranjar isso aí!!

f ' g h + f g ' h + f g h '

Passo 3

(b)

f x = e 3 x

Vamos derivar esse trem aí. Nesse caso é como se tivéssemos uma função dentro de outra, tipo: f ( g x ) . E a regrinha pra esse tipo de problema é: deriva a função de fora (a mais externa, nesse caso 3 x ) e depois deriva a função de dentro e 3 x

d d x e 3 x = d d x 3 x × d d x e 3 x = 3 e 3 x

Resposta

a   f g h ' = f ' g h + f g ' h + f g h '

b   f ' x = 3 e x

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