1. Use o exercício anterior e a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.

b. f x = x ∙ s e c ( x )

Passo 1

Olá, galerinhaa!!! Vamos lá? Aqui nesta questão, vamos revisar alguns conteúdos de Cálculo 1, mais especificamente os conceitos de derivadas de funções trigonométricas e a regra para derivada do produto e do quociente de duas funções.

Assim, temos que a derivada da função seno é a função cosseno e a derivada da função cosseno é o negativo da função seno. Ou seja,

s e n x ' = cos ⁡ x cos ⁡ x ' =   - s e n x

Já a regra da derivada do quociente diz que se temos uma função h x = f x ∙ g ( x ) , ou seja, uma função que pode ser escrita como o quociente de outras duas funções, então

h ' x = f ' x ∙ g x + f x ∙ g ' x

E pela regra da derivada do quociente, se nós temos z x = f x g x , então

z ' x = f ' x ∙ g x - f x ∙ g ' x f 2 ( x )

onde, f ' x e g ' ( x ) são as derivadas das funções f ( x ) e g ( x ) , nas duas situações.

Passo 2

Vamos agora observar a função que nós temos.

f x = x ∙ s e c ( x )

Aqui podemos usar inicialmente a propriedade da derivada do produto. Logo,

f ' x = x ' ∙ sec ⁡ x + x ∙ ( sec ⁡ x ) '

Passo 3

Agora, podemos escrever a função secante em termos da função cosseno, onde sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x . Logo,

s e c ' x = 0 ∙ cos ⁡ x - 1 ∙ ( - s e n x ) cos 2 ⁡ x = s e n x cos 2 ⁡ x = s e n x cos ⁡ x ∙ 1 cos ⁡ x = t g x ∙ sec ⁡ x

E a derivada da função f, fica

f ' x = 1 2 x ∙ sec ⁡ x + x ∙ t g x ∙ sec ⁡ x = sec ⁡ x ∙ 1 2 x + x ∙ t g x

É isso pessoal, até a próximaa, espero que tenham aprendido!!!

Resposta

b. f ' x = sec ⁡ x ∙ 1 2 x + x ∙ t g x

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Derive a função:R (t) = ( t + e^t ) ( 3 - sqrt(t) )