Calcule as integrais indefinidas abaixo

30 .   ∫ ln 2 ⁡ x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa integral aqui

∫ ln 2 ⁡ x d x

Mas como resolver ela?

Precisamos relembrar das técnicas de integração! Como neste integrando temos o produto de duas funções bem distintas (e que uma parte não é a derivada da outra) vamos usar a técnica de integração por partes

Nessa técnica devemos escolher no integrando quem é u e quem é d v , de forma que

∫ u   d v = u v - v ∫ d u

Beleza?

E como escolher nosso u ? Pela nossa regrinha do LIATE:

  • L: logaritmo
  • I: inversa trigonométrica
  • A: algébrica (polinômio)
  • T: trigonométrica
  • E: exponencial

O resto é o d v ! Escolhendo u e d v , vamos achar d u e v , e jogar na fórmula! É pra sair uma integral mais simpática!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Usando a regra do LIATE no integrando

∫ ln 2 ⁡ x d x

u = ln 2 ⁡ x ,   d u = 2 ln ⁡ x x d x

d v = d x ,   v = x

Beleza?

Agora é só jogar na fórmula da integração por partes!

= x ln 2 ⁡ x - ∫ x .   2 ln ⁡ x x d x  

= x ln 2 ⁡ x - 2 ∫ ln ⁡ x d x

nosso integrando ficou bem mais tranquilo né?

Passo 3

Agora vamos resolver a integral que ficou do lado direito

= x ln 2 ⁡ x - 2 ∫ ln ⁡ x d x

Aplicando novamente por partes

u = ln ⁡ x ,   d u = 1 x d x

d v = d x ,   v = x

Temos

= x   l n 2 x - 2 x ln ⁡ x - ∫ d x

E por fim resolver

= x ln 2 ⁡ x - 2 x ln ⁡ x + 2 x + C

Ah! Não esquece da constante no final! Temos uma integral indefinida!

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

x ln 2 ⁡ x - 2 x ln ⁡ x + 2 x + C

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