Exercícios Resolvidos de Superfície Aberta

UFPE, Cálculo 3, 2º EE - 2012.2, Questão 3b

Seja a superfície φ e s f dada por z = 1 - x 2 - y 2 e o campo F r = - y , x , z x + y , encontre o fluxo do rotacional de F usando

(b) O teorema de Gauss. Fundamente porque podemos aplicar esse teorema.

Passo 1

O enunciado aqui pede pra gente calcular “o fluxo do rotacional de F ”. Sempre que vemos essa palavra “fluxo” já sabemos que está associada à alguma integral de superfície, não é? No caso a que queremos é essa aqui

F l u x o = S r o t F . n d S

Antes de tentar calcular qualquer coisa, essa questão aqui pede pra gente usar o teorema de Gauss, né? Vamos relembrar o que ele diz

S F . n d S = W d i v F d V

Ué, estranho né!? Em momento nenhum o enunciado fala de rotacional de F , como fica isso?

Bom, na verdade é meio confuso mesmo, de certa forma o rotacional de F também é um campo.

Sim, exatamente isso kkkk não estamos ficando malucos aqui no site! Pensa o seguinte: o rotacional também tem 3 coordenadas, não é? Então podemos considerar isso aqui

r o t F = G

Com isso, o teorema de Gauss que vamos usar é

S r o t F . n d S = S G . n d S = W d i v G d V

Em outras palavras, podemos até escrever isso aqui

W d i v G d V = W d i v r o t F d V

Fica um pouco mais confuso, mas o conceito é esse, beleza?

Chega de enrolação aqui, vamos calcular esse tal rotacional e depois tirar o divergente!

F = - y , x , z x + y

r o t F = F 3 y - F 2 z , F 1 z - F 3 x , F 2 x - F 1 y

r o t F = 1 - 0,0 - z , 1 - - 1

r o t F = 1 , - z , 2

Pra facilitar nossa nomenclatura, vamos chamar o rotacional de G mesmo

G = 1 , - z , 2

Tirando o divergente de G agora

d i v G = F 1 x + F 2 y + F 3 z

= 0 + 0 + 0

d i v G = 0

Que beleza né? Vai facilitar bastante o teorema de Gauss que vamos fazer!

Antes de aplicar o teorema, vamos lembrar das hipóteses dele. Logo de cara sabemos que S tem que ser a fronteira do sólido W , olhando o esboço vemos que não podemos fazer isso direto então

A metade da esfera é aberta embaixo, vamos precisar fechar isso aí. A superfície mais fácil que eu penso é o círculo no plano z = 0 . Assim:

Pra fazer isso, vamos corrigir o teorema de Gauss, se chamarmos o círculo de S 1

S G . n d S + S 1 G . n d S = W d i v F d V

Pronto, agora sim! As outras hipóteses são simples:

2) Não podemos ter singularidades na região W , o que é verdade já que o campo G = 1 , - z , 2

3) A última hipótese está associada ao vetor normal, que deve estar voltado para fora do sólido, só lembrar disso na hora de integrar, beleza?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom, sabendo o divergente e o teorema, vamos organizar tudo aqui

d i v G = 0

S G . n d S + S 1 G . n d S = W d i v F d V

S G . n d S + S 1 G . n d S = 0

S G . n d S = - S 1 G . n d S

Lembrando que essa primeira integral é o que queremos, só precisamos calcular a segunda, que é bem mais simples! Vamos lá?

Passo 3

Precisamos disso aqui, S 1 G . n d S , certo? Vamos começar parametrizando a superfície S 1 , que é o círculo no plano z = 0

x = r cos θ

y = r sen θ

z = 0

Como a esfera tem raio 1 , os limites são

0 r 1

0 θ 2 π

Beleza, vamos ver o campo G com esses parâmetros agora

G = 1 , - z , 2

G = 1,0 , 2

Passo 4

Por fim, antes de integrar, precisamos do vetor normal a S 1 , vamos usar a parametrização pra isso

φ S 1 r , θ = r cos θ , r sen θ , 0

N = φ r × φ θ

φ r = cos θ , sen θ , 0

φ θ = - r sen θ , r cos θ , 0

N = i j k cos θ sen θ 0 - r sen θ r cos θ 0

N = 0,0 , r

Só que essa normal está voltada pra cima, não é? Lembra da hipótese la de cima? Precisamos que z seja negativo! Não tem problema, só inverter isso aí

N = 0,0 , - r

Passo 5

Agora sim, vamos botar tudo na integral

S 1 G . n d S = 0 2 π 0 1 1,0 , 2 . 0,0 , - r d r d θ

= 0 2 π 0 1 - 2 r d r d θ

Integrando isso aí

0 2 π - 2 r 2 2 0 1 d θ

= 0 2 π - 1 d θ = - 2 π

Passo 6

Voltando pro que concluímos com o teorema

S G . n d S = - S 1 G . n d S

= - - 2 π = 2 π

S G . n d S = S r o t F . n d S = 2 π

Resposta

S r o t F . n d S = 2 π

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