Seja s > 0   um número real fixado. Calcule lim M → ∞ ⁡ ∫ 0 M t e - s t d t

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema pediu para calcularmos essa integral aqui

lim M → ∞ ⁡ ∫ 0 M t e - s t d t

Mas por fora temos um limite! Então precisamos resolver essa integral que está por dentro, aplicar os limites de integração e depois, quando tivermos um resultado em função de M , avaliar o limite quando M → ∞

Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Primeiro vamos resolver essa integral:

∫ 0 M t e - s t d t

Logo de cara vemos que tem uma função exponencial com um polinômio. Não temos a derivada de uma nem da outra no integrando, então não podemos usar a técnica da substituição simples. O que nos resta? POR PARTES!

Relembrando a técnica de integração...

Mas qual função escolher para u ? E para d v ? Se você não sabe qual escolher para u , você pode usar o LIATE:

Assim vamos escolher u = t e d v = e - s t d t . Daí temos:

u = t ; d u = d t

d v = e - s t ; v = - 1 s e - s t

Agora é só substituir na fórmula de partes:

∫ t e - s t d t = - t s e - s t - ∫ - 1 s e - s t d t

= - t s e - s t + 1 s - 1 s e - s t = - t s e - s t - 1 s 2 e - s t

Beleza?

Passo 3

Agora vamos aplicar nos limites de integração:

∫ 0 M t e - s t d t = - t s e - s t - 1 s 2 e - s t 0 M

= - M s e M s - 1 s 2 e - M s + 1 s 2

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Nosso passo final é calcular aquele limite!

lim M → ∞ ⁡ ∫ 0 M t e - s t d t = lim M → ∞ ⁡ - M s e M s - 1 s 2 e M s + 1 s 2

Podemos separar em três limites:

  1. Calculando primeiro o limite mais à esquerda:
  2. lim M → ∞ ⁡ - M s e M s = ∞ ∞

    Como têm-se uma indeterminação, vamos aplicar a regra de L’Hopital e avaliar novamente o limite (lembrando que vamos derivar essa coisa em M):

    lim M → ∞ ⁡ - M ' s e M s ' = lim M → ∞ ⁡ - 1 s M e M s = - 1 ∞ = 0

    Beleza?

    Agora vamos para o segundo limite:

  3. Calculando o limite bem ao centro:
  4. lim M → ∞ ⁡ - 1 s 2 e M s = - 1 ∞ = 0

    Tudo bem?

    Vamos para o último?

  5. Por fim o limite mais à direita:

lim M → ∞ ⁡ + 1 s 2 = 1 s 2

Nosso último passo é juntar todos os resultados:

lim M → ∞ ⁡ ∫ 0 M t e - s t d t = lim M → ∞ ⁡ - M s e M s - 1 s 2 e M s + 1 s 2

= 0 + 0 + 1 s 2 = 1 s 2

E nossa integral fica:

lim M → ∞ ⁡ ∫ 0 M t e - s t d t = 1 s 2

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

lim M → ∞ ⁡ ∫ 0 M t e - s t d t = 1 s 2

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int_()^() z^3 e^z d z
Calcule a integral.int_()^() (x e^(2 x))/((1 + 2 x)^2) d x
Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 - ∫ t g - 1 x x 2d x
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
Calcule a integral.int_0^(pi) x^3 cos x d x