Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

UFPE, Cálculo 3, 3º EE - 2017.1, Questão 4

Considere a função f x = tg x .

  1. Determine o polinômio de T a y l o r de 3 º grau centrado em x 0 = 0 de f ( x ) .
  2. Determine se a série n = 1 n tg 1 n 2 é convergente ou divergente.

Passo 1

Item a) A única coisa que a gente tem que fazer aqui é aplicar a fórmula, se lembra dela?

O a no caso é 0 , e queremos até o terceiro grau, logo teremos

P 3 x = f 0 + x   f ' x + x 2 f ' ' 0 2 + x 3 f ' ' ' 0 6

Vamos encontrar essas derivadas aí?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A função que vamos derivar é essa

f x = tg x

Calculando a primeira derivada

f ´ x = sec 2 x

Agora a segunda lembrando de aplicar a regra da cadeia

f ' ' x = 2 sec x   . sec x tg x                                   f ' ' x = 2 sec 2 x tg x  

Por fim, a terceira derivada aplicando a regra da cadeia e a regra do produto

f ' ' ' x = 2 2 sec x   . sec x tan x tan x + 2 sec 2 x sec 2 x

f ' ' ' x = 4 sec 2 x tan 2 x + 2 sec 2 x sec 2 x

Lembrando que tg 0 = 0 e sec 2 0 = 1 cos 2 0 = 1 , podemos substituir o ponto 0 nessas derivadas e obteremos

f 0 = tg 0 = 0

f ' 0 = sec 2 0 = 1

f ' ' 0 = 2 sec 2 0   . tan 0 = 0

f ' ' ' 0 = 4 sec 2 0 tan 2 0 + 2 sec 2 0 sec 2 0 = 0 + 2 = 2

Jogando agora esse resultado no polinômio, vamos obter

P 3 x = f 0 + x   f ' x + x 2 f ' ' 0 2 + x 3 f ' ' ' 0 6

P 3 x = x + x 3 2 6

P 3 x = x + x 3 3

Passo 3

Item b) bem, se o exercício nos pediu pra determinar o polinômio de T a y l o r em meio de uma prova sobre séries, ele só pode estar nos sugerindo que o utilizamos, certo?! ;)

Esse polinômio nos indica que próximo de 0 , tg x fica muito próximo do polinômio. Note também que quanto maior o grau do polinômio mais a gente se aproxima de tan x . Ou seja

lim n P n x = tg x

Se a gente tomar que o x está se aproximando de 0 pelos positivos, podemos notar que

P 3 x P 2 x P 1 ( x )

Pois, tendo como P 1 x = x , verificamos

x + x 3 3 x  

Isso é verdade pois a soma de termos positivos é sempre maior que um dos termos. Então

lim n P n x   P 1 ( x )

tg x x

Passo 4

Mas o que isso tem a ver com a série que temos que testar?

Pois então, reparando bem a série, que temos que testar, temos um termo tg 1 n 2 , como n está ficando grande, então o inverso 1 n 2 está tendendo a 0 sempre pelo lado positivo, logo a gente pode falar que

tg 1 n 2 1 n 2

Como n é positivo, podemos multiplicar ambos os latos dessa inequação por n

n tg 1 n 2 n n 2

n tg 1 n 2 1 n

Logo, se a gente percebe que

n = 1 n tg 1 n 2 n = 1 1 n

Essa série n = 1 1 n aqui a gente conhece, é a série harmônica, se lembra? E ela diverge, forçando a nossa série que estamos testando divergir também!:)

Resposta

Item a)

P 3 x = x + x 3 3

Item b)

A série é n = 1 n tg 1 n 2 é divergente.

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