Considere a equação diferencial
Cuja solução buscaremos na forma de séries de potências:
(a) Determine uma relação de recorrência entre os coeficientes.
(b) Determine sabendo que e
(c) Determine a solução geral da equação.
(a)
Bom, buscaremos soluções na forma de séries de potências:
Portanto,
Então, reescreveremos a EDO de forma à achar uma relação de recorrência dos
Fazendo ficamos com:
Agora, como todos os somatórios começam em podemos trocar tranquilamente por e agrupar os termos.
Agrupando os termos, ficamos com:
Então, ficamos com
Que é a relação de recorrência entre os coeficientes.
(b) Usando as condições iniciais e , achamos que
Dai tiramos, pela relação de recorrência que
Agora por recorrência temos que
Então temos que os pares a partir de são iguais a zero.
Para os impares para temos:
E portanto
(c) A solução geral do sistema fica:
(a)
(b)
(c)