C11) As funções seno hiberbólico e cosseno hiperbólico são definidas como sinh ⁡ x = e x - e - x 2 e cosh ⁡ x = e x + e - x 2 , respectivamente.

a) Mostre que, para qualquer x ∈ R , cosh 2 ⁡ x - sinh 2 ⁡ x = 1 .

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse enunciado nos pede para demonstrarmos uma identidade trigonométrica:

cosh 2 ⁡ x - sinh 2 ⁡ x = 1

Como o enunciado também nos fala quem são cosh ⁡ x e sinh ⁡ x , precisamos apenas realizar o cálculo.

Vamos lá:

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

sin h ⁡ x = e x - e - x 2

Substituindo:

e x + e - x 2 2 - e x - e - x 2 2 = 1

Passo 2

Nesse passo realizaremos o cálculo. Começando:

e x + e - x 2 4 - e x - e - x 2 4

Nos numeradores, vamos aplicar os produtos notáveis a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 e a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 :

e 2 x + 2 e x e - x + e - 2 x 4 - e 2 x - 2 e x e - x + e - 2 x 4

Perceba que e x * e - x é o mesmo que e x - x ou e 0 . E e 0 = 1 . Então:

e 2 x + 2 1 + e - 2 x 4 - e 2 x - 2 1 + e - 2 x 4 =

e 2 x + 2 + e - 2 x 4 - e 2 x - 2 + e - 2 x 4

Como os denominadores são iguais, podemos unir os numeradores (levando em consideração a subtração das frações):

e 2 x + 2 + e - 2 x - e 2 x + 2 - e - 2 x 4

Temos várias simplificações para fazer, não é?

Então:

2 + 2 4 = 4 4 = 1

Assim comprovamos a identidade!

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

Resposta nos passos acima.

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O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírculo e B ( θ ) a área
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = cos sec x
(d) Use a Fórmula (3) para obter (8).
Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x