Em cada caso, escreva a função dada na forma de uma composta h   ( x )   =   y   =   f   ( g   ( x ) ) , identificando a função u   =   g   ( x ) e a função y   =   f   ( u ) . Em seguida, encontre a derivada segunda da função

h   ( x ) = e x p ( x c o s ( x ) )

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de Calc 1!!! Queremos calcular a derivada segunda da função h ( x ) usando a regra da cadeia. Mas precisamos identificar quais funções que compõem a função h ( x )

h   ( x ) = e x p ( x c o s ( x ) )

Vamos relembrar a regra da cadeia

A regra da cadeia, que diz que

d d x f ( g ( x ) ) = f ' ( g ( x ) ) * g ' ( x )

A regra do produto, que diz que

d d x f ( x ) * g ( x ) = f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x )

A regra do polinômio, que diz que

d d x x n = n x n - 1

Passo 2

A nossa função é

h   ( x ) = e x p ( x c o s ( x ) )

temos duas funções formando a h . Temos que

h ( x ) = f ( g ( x ) )

Onde

f ( x ) = e x

e

g ( x ) = x c o s ( x )

Passo 3

Agora que sabemos quem são f e g . Vamos calcular a derivada de h . Pela regra da cadeia,

d d x h ( x ) = d d x f ( g ( x ) ) = f ' ( g ( x ) ) * g ' ( x )

Como

f ( x ) = e x

e

g ( x ) = x c o s ( x )

Então

d d x h ( x ) = e x p ( x c o s ( x ) ) * g ' ( x )

Para calcularmos g ' , usamos a regra do produto. Logo

d d x h ( x ) = e x p ( x c o s ( x ) ) * ( x - x s i n ( x ) )

Passo 4

Vamos encontrar a segunda derivada. Para isso, vamos derivar outra vez

d d x h ( x ) = e x p ( x c o s ( x ) ) * ( x - x s i n ( x ) )

Usando a regra do produto, temos:

h ' ' ( x ) = d d x e x p ( x c o s ( x ) ) * ( x - x s i n ( x ) ) + e x p ( x c o s ( x ) ) * d d x ( x - x s i n ( x ) )

= e x p ( x c o s ( x ) ) * ( x - x s i n ( x ) ) ² + e x p ( x c o s ( x ) ) ( 1 - s i n ( x ) + x c o s ( x ) )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

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