Calcule a derivada das funções trigonométricas:

a )   y = t g ( x )

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

O enunciado pede para que nós calculemos a derivada da seguinte função trigonométrica

y = t g ( x )

Para fazer isso, vamos utilizar as derivadas do seno e do cosseno que são conhecidas, assim como identidades trigonométricas que possibilitem escrever nossa função em termos de senos e cossenos! Por último, vamos aplicar aqui a regra do quociente para obter derivadas mais simples! Vem comigo!

Passo 2

A primeira coisa que dizemos lembrar que a função tangente é definida como

y = t g ( x ) = s e n ( x ) c o s ( x )

Portanto, para calcularmos a derivada desejada, precisamos calcular o seguinte

y ' = d d x [ t g ( x ) ] = d d x [ s e n ( x ) c o s ( x ) ]

Desta maneira agora podemos utilizar a regra do quociente para escrever nossa derivada em termos de derivadas de senos e cossenos! Vamos fazer isso!

Passo 3

Aplicando a regra do quociente, temos que

y ' = d d x [ f ( x ) g ( x ) ] = f ' ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ' ( x ) g ( x ) 2

em que temos f ( x ) = s e n ( x ) e g ( x ) = c o s ( x ) , portanto

d d x [ s e n ( x ) c o s ( x ) ] = d d x [ s e n ( x ) ] c o s ( x ) - s e n ( x ) d d x [ c o s ( x ) ] c o s 2 ( x )

Dá uma olhada em seu formulário para lembrar estas derivadas e daí vem comigo checar o resultado!

Passo 4

Usando que

d d x [ s e n ( x ) ] = c o s ( x )

e, também que

d d x [ c o s ( x ) ] = - s e n ( x )

Podemos escrever nossa derivada como

d d x [ s e n ( x ) c o s ( x ) ] = d d x [ s e n ( x ) ] c o s ( x ) - s e n ( x ) d d x [ c o s ( x ) ] c o s 2 ( x ) = [ c o s ( x ) ] c o s ( x ) - s e n ( x ) [ - s e n ( x ) ] c o s 2 ( x )

fazendo as multiplicações, temos que o nossa derivada fica da seguinte maneira

d d x [ s e n ( x ) c o s ( x ) ] = c o s 2 ( x ) + s e n 2 ( x ) c o s 2 ( x )

Consegue simplificar isso mais um pouco? Precisamos lembrar de algumas identidades trigonométricas! Saca só!

Passo 5

Podemos lembrar que c o s 2 ( x ) + s e n 2 ( x ) = 1 , e a nossa derivada se resume à

d d x [ s e n ( x ) c o s ( x ) ] = c o s 2 ( x ) + s e n 2 ( x ) c o s 2 ( x ) = 1 c o s 2 ( x )

Como temos que s e c ( x ) = 1 / c o s ( x ) , a nossa derivada original é

d d x [ t g ( x ) ] = s e c 2 ( x )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ t g ( x ) ] = s e c 2 ( x )

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