Derive:

e )   y = s e c ( x 3 )

Passo 1

Oiiie, tudo bem?

O enunciado pede para que nós calculemos a derivada da seguinte função

y = s e c ( x 3 )

Para fazer isso, vamos utilizar algumas derivadas conhecidas e a regra da cadeia! Vem comigo!

Passo 2

A regra da cadeia diz que para uma função composta do tipo h ( x ) = f ( g ( x ) ) , temos que

d d x [ f ( g ( x ) ) ] = d d g [ f ( g ) ] d d x [ g ( x ) ]

em nosso caso temos que f ( g ) = s e c ( g ) e g ( x ) = x 3 . Obtemos então que

d d x [ s e c ( x 3 ) ] = d d g [ s e c ( g ) ] d d x [ x 3 ]

Aqui agora vamos utilizar as derivadas conhecidas da secante e a regra do tombo. Note que a derivada da secante pode ser demonstrada utilizando identidades trigonométricas e a regra do quociente, mas isso é outra questão dessa mesma lista, e está resolvida no nosso site! Aqui vamos utilizar o resultado como conhecemos! Saca só!

Passo 3

Nós temos que

d d g [ s e c ( g ) ] = t g ( g ) s e c ( g )

e, pela regra do tombo nós temos que

d d x [ x n ] = n x n - 1

com n = 3 , podemos escrever que

d d x [ x 3 ] = 3 x 3 - 1 = 3 x 2

Agora vamos juntar todos os nossos resultados! E a resposta está nas nossas mãos! Saca só!

Passo 4

Usando que g = x 3 , temos que a derivada se resume a

d d x [ s e c ( x 3 ) ] = d d g [ s e c ( g ) ] d d x [ x 3 ] = [ t g ( x 3 ) s e c ( x 3 ) ] [ 3 x 2 ]

Rearranjando os termos, obtemos que

d d x [ s e c ( x 3 ) ] = 3 x 2 t g ( x 3 ) s e c ( x 3 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x [ s e c ( x 3 ) ] = 3 x 2 t g ( x 3 ) s e c ( x 3 )

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Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x