Derive:

d )   y = s e n 2 ( e s e n 2 ( x ) )

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos pede para calcular a derivada da seguinte função

y = s e n 2 ( e s e n 2 ( x ) )           ( 1 )  

Que função feia neh? Mas, é mais simples do que parece! Nós precisamos utilizar a regra da cadeia aqui, mas sucessivas vezes! A regra da cadeia é utilizada para calcular a derivada de funções compostas como

d d x [ f ( g ( x ) ) ] = d f d g d g ( x ) d x

Vamos fazer estas derivadas parte por parte para não ficar muito confuso! Sempre começando de fora para dentro, belezinha? Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a nossa equação (1) como uma função composta da forma

y = g 2

em que g = s e n ( e s e n 2 ( x ) ) . Aplicando a regra da cadeia, temos que

d d x [ s e n 2 ( e s e n 2 x ) ] = d d g [ g 2 ] d g ( x ) d x

Usando a regra do tombo, temos então que

d d g [ g 2 ] = 2 g 2 - 1 = 2 g

Ou seja, ainda temos que calcular a seguinte derivada

d d x [ s e n 2 ( e s e n 2 x ) ] = 2   s e n ( e s e n 2 ( x ) ) d d x [ s e n ( e s e n 2 ( x ) ) ]

Bora aplicar a regra da cadeia de novo? Vamo que vamo!

Passo 3

Se olharmos agora nossa função como

f ( g ) = s e n ( g )

em que g = e s e n 2 ( x ) . A regra da cadeia toma a forma

d d x [ s e n ( e s e n 2 ( x ) ) ] = d d g [ s e n ( g ) ] d g d x = c o s ( g ) d g d x

Usando que

d d g [ s e n ( g ) ] = c o s ( g )

Obtemos para esta derivada que

d d x [ s e n ( e s e n 2 ( x ) ) ] = c o s ( e s e n 2 ( x ) ) d d x [ e s e n 2 ( x ) ]

Voltando na nossa derivada original, temos que

  d d x [ s e n 2 ( e s e n 2 x ) ] = 2   s e n ( e s e n 2 ( x ) ) c o s ( e s e n 2 ( x ) ) d d x [ e s e n 2 ( x ) ]

Vamos aplicar a regra da cadeia de novo!

Passo 4

Para a regra da cadeia vamos usar agora que

f ( g ) = e g

em que g = s e n 2 ( x ) . Ou seja, temos que

d d x [ e g ] = d d g [ e g ] d g d x

Como a derivada da exponencial é a própria exponencial, podemos escrever

d d x [ e g ] = e g d g d x

De forma que a derivada original que queremos calcular se resume à

  d d x [ s e n 2 ( e s e n 2 x ) ] = 2   s e n ( e s e n 2 ( x ) ) c o s ( e s e n 2 ( x ) ) e s e n 2 ( x ) d d x [ s e n 2 ( x ) ]

Uff… Ainda precisamos usar a regra da cadeia mais uma vez… Tenha fé! Vem comigo!

Passo 5

Utilizando agora que

f ( g ) = g 2

tal que g = s e n ( x ) . A regra da cadeia é tal que

d d x [ f ( g ) ] = d d g [ g 2 ] d g d x = 2 g d g d x

usando a regra do tombo da mesma forma que anteriormente! Utilizando isso temos a derivada original como

  d d x [ s e n 2 ( e s e n 2 x ) ] = 2   s e n ( e s e n 2 ( x ) ) c o s ( e s e n 2 ( x ) ) e s e n 2 ( x ) ( 2   s e n ( x ) ) d d x [ s e n ( x ) ]

Reescrevendo um pouco o resultado, e, lembrando que

d d x [ s e n ( x ) ] = c o s ( x )

O resultado final é “simplesmente”

  d d x [ s e n 2 ( e s e n 2 x ) ] = 4   s e n ( e s e n 2 ( x ) ) c o s ( e s e n 2 ( x ) ) e s e n 2 ( x )   s e n ( x ) c o s ( x )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

  d d x [ s e n 2 ( e s e n 2 x ) ] = 4   s e n ( e s e n 2 ( x ) ) c o s ( e s e n 2 ( x ) ) e s e n 2 ( x )   s e n ( x ) c o s ( x )

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