Derive as funções abaixo:

a)  f ( x ) = x 3 - x c o s ⁡ ( x )

Passo 1

Para derivar a função f ( x ) = x 3 - x c o s ⁡ ( x ) , usaremos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é dada por:

( u v ) ' = u ' v + u v '

onde u e v são funções de x , e u ' e v ' são suas respectivas derivadas em relação a x .Vamos aplicar a regra do produto à função dada:

f ( x ) = x 3 - x c o s ⁡ ( x )

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de u e v :

u = x 3 - x , v = c o s ⁡ ( x ) .

A derivada de u em relação a x é:

u ' = 3 x 2 - 1 2 x . 

A derivada de v em relação a x é:

v ' = - s i n ⁡ ( x ) .

Passo 3

Agora, podemos aplicar a regra do produto:

f ' ( x ) = u ' v + u v '

f ' ( x ) = 3 x 2 - 1 2 x c o s ⁡ ( x ) + x 3 - x ( - s i n ⁡ ( x ) )

f ' ( x ) = 3 x 2 c o s ⁡ ( x ) - c o s ⁡ ( x ) 2 x - x 3 s i n ⁡ ( x ) + x s i n ⁡ ( x ) .

Resposta

Portanto, a derivada da função f ( x ) = x 3 - x c o s ⁡ ( x ) em relação a x é:

f ' ( x ) = 3 x 2 c o s ⁡ ( x ) - c o s ⁡ ( x ) 2 x - x 3 s i n ⁡ ( x ) + x s i n ⁡ ( x ) .

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